无穷思想.doc

河南太康 童传行
我们知道“无穷思想”是极限理论的基础，属高等数学的内容，而初等数学中也渗透一些“无穷”问题，中考中也不乏其例。下面我们就用初等数学的方法探究解决一些“无穷”问题。
例1 求证
分析：我们知道是以9为循环节的无限循环小数，属无穷问题。解决此问题只需把乘以10得使得两数小数点后一样，用“减尾法”两数相减化无限为有限，从而解决问题。
解 设=x ①
则=10x ②
②-①得
9x=9
∴x=1
原题得证。
再如
，两数相减得，0.=。
同学们，？
例2 求证=2
分析：由于根号下是无穷项，我们可把平方，根号外出来一个2后，根号下仍是无穷项，于开始数一模一样，从而问题得到解决。
解 设=x
两边同时平方得：2=
即2=
∴=0（舍去），=2
再如 求证=2 以此法类推。
同学们你会证明下题吗？
求证=
例3 求证 偶数与整数一样多。（即偶数与整数等势）
分析：1是整数而不是偶数，偶数怎能与整数一样多呢？可是偶数与整数都是可数无穷集合，无穷与无穷相比较时常规的思考方法是行不通的，我们构造函数=2，当属于整数时，显然是偶数，并且与是一一对应的。
证明 设=2，显然当自变量取全体整数时，对应的函数值是偶数，而对于函数=2，当自变量在整数集合里有一个确定的值，就有唯一的一个值和他对应，并且当在偶数集合里有一个确定的值后，也只能在整数集合里找到唯一的一个值和他对应。即里面的数与里面的数是一一对应的，所以偶数与整数一样多。
（数学史上“希尔伯特旅馆问题”讲述的就是一个无穷可数问题，故事大意就是：伟大的数学家希尔伯特开了一个旅馆，有无穷多间房，房间号分别为1、2、3、4、5、6……。一天晚上，天冷飕飕的下着小雨，这时来了一位疲惫的老人住宿，营业员就抱歉的说：老人家实在对不起我们这每间房只能住一个人，不能多住，现在每间房都住了人，没有房间了。老人一脸无奈与忧伤，就在老人将要离开时碰到了在外回来的希尔伯特，希尔伯特知道后就说这有房间，可以住。他就对营业员说把每个房间的人都到他下一个房间住，不就腾出了1号房间吗。营业员恍然大悟，虽说每间房都已住人，再来5人，由于是无穷多间房，把每个房间的人都到他的房间号加5的房间去住，就可腾出前5间房。就是来了一大群人，不管它有多多，只要我能数出有多少人，我就能安排他们住下。其实这就是=+1,=+5的问题。）
例4 为啥不是有理数？
《数学史》上无理数的发现中记载着这样的一个故事：公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的弟子希勃索斯发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度。这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”（没有发现有理数以外的数时，任何两个数均可公度）的哲理大相径庭。这一发现使该学派的领导人惶恐、恼怒，认为这动摇了他们在学术界的统治地位。希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨。最后遭到沉舟身亡的惩处。后来，人们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把这类不可通约的量取名为无理数。
解 ： 如右图，取边长为a的正方形ABCD,设对角线BD=b。
⑴在BD上截取DE=DC,设BE=
则b=a+
⑵ 过E作EF⊥BD,交BC于F，