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柯西法解方程.doc

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柯西法在 f(x) 单调(或连续)的条件下,利用柯西函数方程的解求解例6 设 f(x) 连续且不恒为 0 ,求函数方程 f(x+y)=f(x)f(y) 的解解: ∵ f(x)=f(x+y)=f(x)f(y) ≥0 若存在 x0 ∈R ,使 f(x0)=0 。则对一切实数 x ,有 f(x)=f(x - x0+x0)=f(x - x0)f(x0)=0 这与 f(x) 不恒为 0 矛盾,故 f(x)>0 对题设 f(x+y)=f(x)f(y) 两边取自然对数,得㏑ f(x+y)= ㏑ f(x)f(y) ∴㏑ f(x+y)= ㏑ f(x)+ ㏑ f(y) 令 g(x)= ㏑ f(x) ∵ f(x)>0 且连续∴ g(x) 连续且满足 g(x+y)=g(x)+g(y). 由定理知: g(x)=g(1)x 故㏑ f(x)=x ㏑ f(1) ∴ f(x)=e^x ㏑ f(1)=f(1)^x 令 f(1)=a ,则 f(x)=a^x (a>0) 类似的, 利用柯西函数方程的解, 在连续或单调的条件下可得: (1 )若 f(xy)=f(x)+f(y) (x>0,y>0), 则 f(x)= ㏒ ax (2 )若 f(xy)=f(x)f(y) (x>0,y>0), 则 f(x)=ux(u 由初值给出)(3 )若 f(x+y)=f(x)+f(y)+kxy, 则 f(x)=ax2+bx (4 )若 f(x+y)+f(x - y)=2f(x), 则 f(x)=ax+b

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