第5章矩阵分析.ppt

§ 矩阵函数
一、定义和性质
1 (p125)
f（z） = 是解析函数，收敛半径为R，如果
 (A)< R， 则 有意义。
常见的矩阵函数
eA，cosA，sinA，ln(I+A)
函数 eA 的若干性质：
AB=BA， eA eB = eBeA = eA+B ，
e0 =I
（ eA ）–1 = e – A 。
定义f（A）=
1
例题5、 设A为反对称矩阵，证明eA为正交矩阵。
例题6 设 ，讨论 lnA 是否有意义
2
二、矩阵函数的计算
计算f（A）=
1、 Jordan标准形方法:
A=P J P –1 ， f(A)=Pf(J)P – 1;
计算矩阵序列：Sn（J）
按元素收敛求得：
如果 A=PJP –1, 则f(A)=Pf(J)P –1;
如果i为矩阵A的特征值, 则f(i) 是矩阵f(A)的特征值
含参数 t 的函数 f(At)。
例题1 ，计算eA和eAt。
3
2、 最小多项式方法
由在谱上等值确定g（），则f（A）=g（A）
例题2 设 ，计算eA和eAt
例题3 设 ，计算A10。
例题4 （P129 eg15）
4
例题5 设 ，
用Jordan化方法计算sinA。
求sinA的Jordan标准形J，并求矩阵Q， 使得QsinAQ – 1 =J
5
§ 矩阵函数的微积分
一、矩阵函数及其分析性质
矩阵函数：A（t）=[aij（t）] m×n，
分析性质：
A（t）连续、可微分、可积分 aij（t）
连续
可微分
可积分
微分性质 (p130)
6
例题1
设