第五章 弹性力学问题的建立和一般理论.ppt

第五章弹性力学问题的建立和一般原理本章主要任务: (1)综合弹性力学的基本方程,及其边界条件; (2)求解弹性力学的两种方法—位移解法和应力解法;( 3)弹性力学的几个基本原理(4)弹性力学中最简单的问题弹性静力学的问题构成了偏微分方程组的边值问题,根据应力或位移为求解的未知函数进行简化,得到基本方程。直接求解一般是十分困难的,还需要进一步简化为平面问题和对称问题。基本方程还为弹性力学的数值解法奠定了基础。第一节基本方程及其边值问题第二节位移解法以位移表示的平衡微分方程第三节应力解法以应力表示的应变协调方程第四节弹性力学的一般原理第五节平衡方程的齐次解第一节基本方程及其边值问题弹性力学基本方程包括平衡(运动)微分方程、几何方程和物理方程。平衡(运动)微分方程: )(0 )(0 )(0 2 2 2 2 2 2t w Fzyx t vFzyx t uFzyx z z yz xz y zy y xy x zx yx x????????????????????????????????????????????????2 ,2 0 ( ) j ij i j uFt ? ??? ??张量形式: 几何方程--- 应变和位移的关系: ????????????????????????????????????y ux vz w x wz uy v z vy w x u xy z xz y yz x??????, , ,?????????????? i jj i ijx ux u2 1?张量形式: 物理方程--- 应力和应变关系: (1)用应力表示应变的关系式或张量形式: ?????????????????????????????? xy xy xyzz xz xz zxyy yz yz zyxxE E E E E E????????????????????????)1(2,)( 1 )1(2,)( 1 )1(2,)( 1?? ij kk ij ijE ?????????)1( 1 (2)用应变表示应力的关系式或张量形式: ?????????????? xy xy z z xz xz y y yz yz x xG G G G G G??????????????????,2 ,2 ,2 ij ij kk ijG?????2??空间问题的未知数应力分量 6个应变分量 6个位移分量 3个⑴应力边界条件:在全部边界上给定外力(面力), 应力应满足应力边界条件。在S边界上未知函数 15个,方程数也为 15个。位移和应力还应该满足单值条件求解方程所需的边界条件:??????????????nmlf nmlf nmlf z yz xz z zy y xy y zx yx xx?????????张量形式为:在S边界上⑵位移边界条件在全部边界上的已知位移。在S边界上或(3) 混合边界条件既有应力边界,又有位移边界。 i j ijfn??wwvvuu???,, iiuu?第二节位移法以位移表示的平衡微分方程基本方程的解法上述如此庞大的偏微分方程组的求解是不方便的,通常消去部分未知数,分为位移法和力法。位移解法是以位移分量作为基本变量求解,故必须从基本方程中消去应力分量和应变分量,得到只包含位移分量的方程。位移法应用必须将边界用位移分量表示。位移法:以位移为未知量代入物理方程σ= Dε得到右式将几何方程?????????????? i jj i ijx ux u2 1??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????y ux vE x wz uE z vy wE z w E y vE x uE xy zx yz z y x)1(2 )1(2 )1(2 211 211 211?????????????????????