不定积分的计算.ppt

不定积分的计算计算不定积分的思考顺序 、代数与三角变形 (“凑”微分法) 、求不定积分的基本方法 1. 直接积分法通过简单变形, . 换元积分法( ) d f x x ?第一类换元法[ ( )] ( ) d f t t t ? ???第二类换元法(代换: ) ( ) x t ??定理,)()(上的一个原函数在区间是设IufuF,)( ),()(且上可微在区间又JxuICuf???,)(上有则在区间 JIJ??. ))(( )( d)(d)( ))((CxF CuF uufxxxf???????????,若u为自变量时,当然有 ( ) ( ) f u du F u C ? ??当 u 换为?(x)时, 就有[ ( )] ( ) [ ( )] f x d x F x C ? ??? ??成立. ——不定积分的这一性质称为积分形式的不变性. “凑”, 凑的目的是把被积函数的中间变量变得与积分变量相同. 即[ ( )] ( ) f x x dx ? ???凑[ ( )] ( ). f x d x ? ??成立. ( ( )) ( ) d ( ) d ( ) ( ( )) . f x x x f u u F u C F x C ? ? ??? ????? ?(1) 根据被积函数是复合函数的特点和基本积分公式的形式, 依据恒等变形的原则, 把dx凑成 d?(x ) . 如 2 2 2 1 1 (2 ) . 2 2 x x x e dx e d x e C ? ??? ?(2) 把被积函数中的某一因子与 dx凑成一个新的微分 d?(x ) .如“凑微分”的方法有: lnxdxx?以下常见的凑微分公式! 322 ln ln (ln ) 3 xd x x C ? ??? 1 1. ( ) dx d ax a ? 11 2. ( 1), 1 x dx dx ? ????? ??? 1 ( )( , , 0) d ax b a b a a ? ? ?为常数 2 4. (arcsin ) (os ) 1 dx d x d x x ? ??? 1 (2 ) dx d x x ? 3. , ln xxa a dx d a ?, x x e dx de ?( ) xxe e dx d ?????? ? 2 5. (arctan ) ( cot ) 1 dx d x d arc x x ? ??? 6. ln , dx d x x ? ln(1 ) 1 dx d x x ? ?? 8. (sin cos ) ( cos sin ) x x dx d x x ? ??? 2 9. (2 1) ( ) x dx d x x ? ?? 2 10. tan cos dx d x x ? 2 11. cot sin dx d x x ?? 7. sin cos , cos sin xdx d x xdx d x ?? ?解??.d1 4xx x求,d2d, 2故则令xxuxu??????? 241 d2 1d1u uxx x. arctan 2 1 arctan 2 1 2CxCu????.)(d)( 1d)( : 1nnnxuuufn xxxf?????一般公式为解??.d1 2xe e x x求,dd,故则令xeueu xx??1 dd1 22?????u uxe e x x. arctan arctan CeCu x????.)(d)(d)( : xkx kxeuuufxeef????一般公式为定理上在区间,函数设函数*)()()(ItxICxf???。, 严格单调,可微,且 IIt???)(0)( *??)()( ))(( *,则上有原函数在区间若tFIttf???上有在区间 I, ))((d)( 1