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频域分析法——测控技术与仪器系黄安贻 ********** ******@whut. 控制系统的频域分析⒈在无计算机的年代,高阶微分方程求特征根困难; ⒉系统响应性能不满足工程要求时,不容易知道如何调整系统; ⒊系统无法解析建模时,能不能研究系统性能? 如何研究系统性能? 引言:时域分析的局限性引言:时域分析的局限性 频率响应和频率特性频率特性是控制理论最基本的概念之一一非周期函数(信号)的谐波分析 )()( nT tftf T??称为第 n次谐波频率,基波频率的整数倍; T称为周期, ????,2,1n 周期函数为满足狄里赫利条件: ①在一个周期内只有有限个第一类间断点②在一个周期内只有有限个极值点。周期函数可分解为傅立叶级数周期函数可分解为傅立叶级数) sin cos (2 )( 0 1 0 0tnbtna atf n n n T??????????????T 2 0T nn ?? 2 0?称为基波频率或频率间隔; 非周期函数(信号)的谐波分析⑴ dttntfT b dttntfT a dttfT a TT Tn TT Tn TT T????????? 22 0 22 0 22 0 sin )( 2 cos )( 2 )( 2??) sin( 2 )( 01 0n n n TtnA atf????????22nnnbaA??) arctan( nnnab??——第n次谐波幅值——第n次谐波相位傅立叶级数亦可写成傅立叶级数亦可写成)(tf T可分解为:平均值+∑谐波分量之和。结论结论非周期函数(信号)的谐波分析⑵非周期函数可看成是周期为无穷大的周期函数! ⒉非周期函数????????????????]} sin )( cos )([2 { lim )( 00tbta atf????????????????)]( sin[ )( lim 2 )( 0 0tA atf ?? T 0 2???T ??谐波的次数 n→∞,再用 n来表示谐波次数已无意义, 因此可改用ω来表示各次谐波的角频率,于是有相邻两个谐波频率无限接近, 当时,有非周期函数(信号)的谐波分析⑶①非周期函数含有一切频率的谐波分量; ②由于周期无穷大,这些谐波分量是在- ∞≤ t ≤∞的时刻存在的,因此这些谐波分量是稳态的正弦波。③可以用系统对正弦输入的稳态响应来研究系统的瞬态性能。因为一个特定时刻输入的非周期函数可以展成无穷多个稳态的正弦波(恒值分量可视为频率为 0 时的谐波),所以也就可以用稳态的正弦波信号作为输入来研究系统的特性,改变正弦波的频率,也就知道了系统对非周期函数的响应特性。结论结论二频率响应的概念当正弦信号作用于稳定的线性系统时,系统输出的稳态分量为同频率的正弦信号,这种过程称为系统的频率响应。(稳定的系统对正弦输入的稳态响应)。实例: RC 滤波网络实例: RC 滤波网络 RC T Ts sG???,1 1)(则系统输出为????js cjs cT s cs A Ts sX ro?????????? 3212211 1)( tAtr r? sin )(?设输入信号为求出待定系数,拉氏逆变换、整理后有) arctan sin( 1 1 1 )( 22 122TtT AeT TAtx r tT ro???????????瞬态响应,随时间增加会衰减为 0稳态响应频率响应的特点 22 01 1 )()(T A AA r??????Ttrty??? arctan )()()(??????频率响应的特点频率响应的特点①稳态输出与输入相比,都是同频率的正弦函数, 但幅值不同,相位不同。②稳态输出的幅值为输入幅值的一个相应的倍数; ③相位比输入相位滞后一个角度。幅值比幅值比它是频率ω的函数, 称为幅频特性; 相位差相位差它是频率ω的函数, 称为相频特性。结论结论幅值比、相位差随频率ω变化频率响应的这种特性,用频率特性描述。幅值比、相位差随频率ω变化频率响应的这种特性,用频率特性描述。频率响应: 系统对正弦信号的稳态响应。频率响应: 系统对正弦信号的稳态响应。 Xi= Ai sin ωt Xo = Ao (ω) sin[ ω t+φ(ω)]稳定系统稳定系统三频率特性的定义稳定线性系统在正弦信号作用下,当频率从零变化到无穷大时,稳态输出与输入的幅值比、相位差随频率变化的特性,称为频率特性。频率特性由幅频特性和相频特性两部分组成。稳定线性系统在正弦信号作用下,当频率从零变化到无穷大时,稳态输出与输入的幅值比、相位差随频率变化的特性,称为频率特性。频率特性由幅频特性和相频特性两部分组成。系统稳态正弦输出信号与相应的正弦输人信号的幅值之比随输入频率的变比而变化的特性称为幅频特性,它描述了系统对输入信号幅值的放大、衰减特性。系统稳态