毕业论文《Hopf分岔的研究及其应用》.doc

毕业论文《Hopf分岔的研究及其应用》.docHopf分岔的研究及其应用
(数学与应用数学专业)
摘要：本文主要对Hopf分岔的概念作出表述，并对其相关判别进行一系列的讨论，着重 介绍了两种常用的方法，即中心流形/ Poincare - Birkhoff正规形方法和后继函数法。最后，文 章还给出了它在三次微分系统中的一个应用。
关键词：分岔、平衡点、Hopf分岔,后继函数
§ 1引言
微分方程理论在自动控制、航天技术、生态生物等方面一直有着广泛的应用，在这些实际应用中， 系统通常都是一些含有参数的微分方程组。考虑如下形式的系统：
「了(X,") (1)
dt
其中，「.R*RPtR"是充分光滑的函数，nN2, pNl,不妨设ji = (2,a), "R, tz为普适开折 参数或其它自由参数。系统(1)的解显然随参数〃的变化而变化。如果人在2 = 4；的一个小邻域内变 化时，系统(1)在相空间的相图拓扑结构发生了变化，那么就称系统发生了分岔，称；I为分岔参数， 4)为分岔值。
分岔是一种十分普遍的现象，而且它对把握系统解的性质和行为有着十分重要的意义。分岔包括静 态分岔和动态分岔。Hopf分岔即是一种十分重要的动态分岔现象，若系统(1)发生发生Hopf分岔， 则参数人在分岔值扁附近变化时，系统平衡点的稳定性发生改变，并在平衡点的小邻域内产生周期解。 在实际模型中Hopf分岔是十分普遍的。例如：经济危机的周期性发生，心脏的周期跳动…都是一种Hopf 分岔。
而今在应用数学中，Hopf分岔理论已经成为研究微分方程小振幅周期解产生和消亡的经典工具。 因此，对Hopf分岔的研究是十分有意义的。本文讨论了 Hopf分岔，并对其研究方法作了一些总结，最 后给出了一个实际应用。
§2基本概念
不妨设系统(1)的平衡点总在原点0,即：
f(0,〃)三。
设 = ,且 A(〃)有特征值
(Hi) cr(〃) 土油(〃),cr(0) = 0,刃(0) = (»()? 0
(H2) A(/z)的其它特征值实部都小于0
在(HD (H2)假定下，这时可以证明(详见文献[5])
存在分岔函数g°：R"xRi Ml使得幻3〃)=打(广〃),担「(“,〃)= 0,("=尸)在原点附近的每
一个解都一一对应到系统（1）的小振幅周期解。这里，go可由Lyapunov—Schmidt约化得到。
若再假设横截性条件：
（H3） % 主 0
成立。其中，—I苻0,那么系统周期解r满足
新“
（Hi） r［c0 + c2r2 + c4r4 +...］ = 0
其中，％,C2…是关于〃的函数。且可证：（％）/? 0等价于。0（°）?0
另由隐函数定理，可知（HQ有唯一解r。若又有：
dr
（Hs） c, ? 0 （ — ? 0 ）
一 dx
使极限环的存在唯一性得到保证，那么：
（HD式即定义了一条渐近抛物线，且满足对任意同号人存在唯一 r〉0,并且不存在r使；I异号。
该条曲线即为经典Hopf分岔的图像。
现在我们给出Hopf分岔的定义：
定义1若系统（1）满足条件（HD （H/ （Ha）（氏），即称该系统将发生Hopf分岔。
这里，参数a不会引起系统相图拓扑发生质的改变，但是若系统不满足条件（4）和（6）任意其中之 一，则a将对系统产生重要影响。
定义2若系统（1）对条件（Ha）（压）至少有一个不满足，则称其为退化Hopf分岔的情形。 下面就对退化的Hopf分岔作一些简要的讨论。
情形1若（H」）成立，而（氏）不成立
若x e R2,那么当〃 =0时，%0 =0为细焦点，则
（氏）成立等价于一阶焦点量不等于0
（氏）不成立等价于一阶焦点量等于0
定义3设系统第一个不为0的焦点量为第k个，则把％ =0称为k阶细焦点。
对系统（1）若吒=0为堂= f（x,0,0）的k阶细焦点，则
dt
1） 原系统在参数人变化时，至多产生k个小振幅周期环
2） 对1< j<k的每个正整数j, （2,«）在（0,0）附近适当扰动，可使原系统正好产生，个极限环。
情形2 若（压）成立，而（HQ不成立
这时必须用奇异性理论进行讨论。通过Lyapunov — schmidt约化，得到分岔函 g0（x,//） = xr（x2,//）,然后转为讨论r（M,2）的奇点。限于篇幅，这里不再详述。
§ 3 Hopf分岔的研究方法
Hopf分岔的研究方法很多，如文献［5］总结出了 6种不同的方法，包括：中心流形/Poincare- Birkhoff 正规形方法（见［7］）、Lyapunov — Schmidt 约化法（见［4］）、Lyapunov 常数法（见［1］）、后 继函数法（见［6］）、平均法（见［2］）以及内蕴调和平衡法（见［3］）0