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数学竞赛教案讲义(4)——几个初等函数的性质.doc


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第四章 几个初等函数的性质
一、基础知识
1.指数函数及其性质:形如y=ax(a>0, a1)的函数叫做指数函数,其定义域为R,值域为(0,+∞),当0<a<1时,y=ax是减函数,当a>1时,y=ax为增函数,它的图象恒过定点(0,1)。
2 分数指数幂:。
3.对数函数及其性质:形如y=logax(a>0, a1)的函数叫做对数函数,其定义域为(0,+∞),值域为R,图象过定点(1,0)。当0<a<1,y=logax为减函数,当a>1时,y=logax为增函数。
4.对数的性质(M>0, N>0);
1)ax=Mx=logaM(a>0, a1);
2)loga(MN)= loga M+ loga N;
3)loga()= loga M- loga N;4)loga Mn=n loga M;,
5)loga =loga M;6)aloga M=M; 7) loga b=(a,b,c>0, a, c1).
5. 函数y=x+(a>0)的单调递增区间是和,单调递减区间为和。(请读者自己用定义证明)
6.连续函数的性质:若a<b, f(x)在[a, b]上连续,且f(a)·f(b)<0,
则f(x)=0在(a,b)上至少有一个实根。
二、方法与例题
1.构造函数解题。
例1 已知a, b, c∈(-1, 1),求证:ab+bc+ca+1>0.
例2 (柯西不等式)若a1, a2,…,an是不全为0的实数,b1, b2,…,bn∈R,则()·()≥()2,等号当且仅当存在R,使ai=, i=1, 2, …, n时成立。
例3 设x, y∈R+, x+y=c, c为常数且c∈(0, 2],求u=的最小值。
2.指数和对数的运算技巧。
例4 设p, q∈R+且满足log9p= log12q= log16(p+q),求的值。
例5 对于正整数a, b, c(a≤b≤c)和实数x, y, z, w,若ax=by=cz=70w,且,求证:a+b=c.
例6 已知x1, ac1, a1, c1. 且logax+logcx=2logbx,求证c2=(ac)logab.
例7 解方程:3x+4 x +5 x =6 x.
例8 解方程组:(其中x, y∈R+).
例9 已知a>0, a1,试求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范围。
三、基础训练题
1.命题p: “(log23)x-(log53)x≥(log23)-y-(log53)-y”是命题q:“x+y≥0”的_________条件。
2.如果x1是方程x+lgx=27的根,x2是方程x+10x=27的根,则x1+x2=_________.
3.已知f(x)是定义在R上的增函数,点A(-1,1),B(1,3)在它的图象上,y=f-1(x)是它的

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