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实数大小进行比较的常用方法
实数的大小比较是中考及数学竞赛中的常见题型，不少同学感到困难。 实数”是初中数学的重要内容
之一，也是学好其他知识的基础。为帮助同学们掌握好这部分知识，本文介绍几种比较实数大小的常用方
法，供同学们参考。

例1、 比较<m 一5和3；'4 — m的大小
解：根据平方根的定义可知： m-5>0,即m>5,则4-m<0,学4 - m <0 ,又因为vm-5 >0,由此可
得：Vm -5 > 3'4 -m .
小结：该法适用于被开方数中含有字母的二次根式和三次根式的大小比较.
方法二：差值比较法
差值比较法的基本思路是设 a, b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据当a-b巧时，得到ab。
当a-b <0时，得到 a由。当a-b = 0,得到a=b。
3 ■1 1
例1: （1）比较一尸与2的大小。 （2）比较1r 2与1-43的大小。
用 3 -1 1 -.3 -2 .3-1 1
斛 . -= < 0 , 一 < — O
解（1-J2）-（1-J3）=。3—J2>o , 1-<2 >1-<3o
方法三：商值比较法
商值比较法的基本思路是设 a, b为任意两个正实数， 先求出a与b得商。当a<1时，avb;当丹〉
b b
1时，a>b;当a=1时，a=b。来比较a与b的大小。 b
.3-.
例2:比较」一1与1的大小。
5 5
丘 ,3-1 1 .3-1 1
解： 5+g = M3—1<1 •1•---< -
方法四：倒数法
倒数法的基本思路是设 a, b为任意两个正实数，先分别求出 a与b的倒数，再根据当 二>1时，a
a b
<bo来比较a与b的大小。
例 3:比较、2004 - J2003 与 J2005 - J2004 的大小。
解;
.2004 - . 2003
=..2004 + .. 2003
■. 2005 - -: 2004
=.2005 + .. 2004
又••• J2004 + “ 2003 v v2005 + J2004
J2004 r 2003 > J2005 - <2004 -
方法五：平方法
平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据 a>0, b>0时，可由a2>b2得到a
>b来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。
例5:比较•% + J6与向+ <5的大小
解：（，2+，6）2=8+2乃2, g'3 + J5）2=8+2 d5。
又••• 8+2 J12 <8+2 J15 J2 + V6 v J3 + J5。
方法六：估算法
估算法的基本是思路是设 a, b为任意两个正实数，先估算出 a, b两数或两数中某部分的取值范围，
再进行比较。
13 -3 1
V13 -3 1
8 8
例4:比较“ 3 与1的大小 8 8
解：•••3<,后<4 V13-3<1
方法七：移动因式法
移动因式法的基本是思路是，当
a>0, b>0,若要比较形如a、-'b与cjd的大小，可先把根号外的因
数a与c平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。
例6:比较2 J7与333的大小
解： 2^/7 = <22 *7 =痴，3 3