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《柯西不等式》单元测试题(1)
《柯西不等式》单元测试题（1）
班级 姓名
一、选择题：
1．已知a，b∈R，a2＋b2＝4，则3a＋2b的最大值为(　　)
A．4　 B．2　 C．8　 D．9
2．设x，y，m，n>0，且＋＝1，则u＝x＋y的最小值是(　　)
A．(＋)2 B.＋ C．m＋n D．(m＋n)2
3．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a－b的取值范围是(　　)
A．[－2，2] B．[－2，2] C．[－，] D．[－，]
4．已知4x2＋5y2＝1，则2x＋y的最大值是 (　　)
A. B．1 C．3 D．9
5．已知x，y∈R＋，且xy＝1，则的最小值为(　　)
A．4 B．2 C．1 D.
6．设a、b∈R＋，且a≠b，P＝＋，Q＝a＋b，则(　　)
A．P>Q B．P≥Q C．P<Q D．P≤Q
二、填空题：
7．已知a，b>0，且a＋b＝1，则＋的最小值为________；
8．函数y＝＋2的最大值是________；
9．设a，b，c，d，m，n都是正实数，P＝＋，Q＝· ，则P与Q的大小________；
10．函数y＝2cos x＋3的最大值为________；
11．函数y＝2＋的最大值为________.
三、解答题：
12．若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值，并求出最小值点．
13．设a，b∈R＋，若a＋b＝2，求＋的最小值．
14．已知a＋b＝1，求证：a2＋b2＝1.
15．设a＋b＝，求证：a8＋b8≥.
参考答案：
一、选择题：
1．已知a，b∈R，a2＋b2＝4，则3a＋2b的最大值为(　　)
A．4　 B．2　 C．8　 D．9
答案：B
2．设x，y，m，n>0，且＋＝1，则u＝x＋y的最小值是(　　)
A．(＋)2 B.＋ C．m＋n D．(m＋n)2
答案：A
3．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a－b的取值范围是(　　)
A．[－2，2] B．[－2，2] C．[－，] D．[－，]
解析：　∵(a2＋b2)[12＋(－1)2]≥(a－b)2，
∴|a－b|≤＝2，∴a－b∈[－2，2]．
答案：　A
4．已知4x2＋5y2＝1，则2x＋y的最大值是 (　　)
A. B．1 C．3 D．9
解析：　∵2x＋y＝2x·1＋y·1
≤ ·＝·＝.
∴2x＋y的最大值为.
答案：　A
5．已知x，y∈R＋，且xy＝1，则的最小值为(　　)
A．4 B．2 C．1 D.
解析：　≥2＝4，故选A.
答案：　A
6．设a、b∈R＋，且a≠b，P＝＋，Q＝a＋b，则(　　)
A．P>Q B．P≥Q C．P<Q D．P≤Q
解析：　∵(a＋b)
＝[()2＋()2]
≥2＝(a＋b)2
＝2
＝＋.
答案：＋
8．函数y＝＋2的最大值是________；
解析：根据柯西不等式，知
y＝1×＋2×≤×＝.
答案：　
9．设a，b，c，d，m，n都是正实数，P＝＋，Q＝· ，则P与Q的大小________；
解析：　由柯西不等式，得
P＝＋≤×＝· ＝Q.