数分选讲讲稿第讲.docx

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数分选讲讲稿第讲
讲 授 内 容
备 注
第十九讲
3、在不等式两端取变限积分证明新的不等式
例15 证明：当时，
证 已知， （，只有时，等号成立）
在此式两端同时取上的积分，得
再次取上的积分，得
第三次取上的积分，得
所以
上式再在上的积分，得
即
再在上的积分，得
例16 设是上连续的凸函数．试证：
，有
证 令，则
同理，令，则
从而
注意到
与关于中点对称，又为凸函数，所以
另一方面，由（1）式及的凸性
例17 设函数在上递增．试证：
函数为凸函数．
证 在上递增，
所以，为凸函数．
例18 设，在上连续，
且，在上有定义，并且有二阶导数，试证：
证I （利用积分和）将区间等分，记
3学时
几何解释：
方法III可推广．
不等式的积分形式称为
不等式
第二项积分值大于零．
，为凸函数．
由詹禁定理，取 ，
即
令，得
证II （利用公式）
记
则
注意 ，
在上式中，令，然后两边乘以 ，得
在上取积分
即
其中
§ 不等式
一、不等式及不等式
1．不等式
设为任意实数，则
（不等式）
其中等号当且仅当与成比例时成立．
证1（判别式法）
上式是关于的二次三项式，保持非负，故判别式
证II（配方法）
因此，不等式成立．
等号成立当且仅当，．
证III（利用二次型）
即关于的二次型，非负定，因此
即
2．不等式
设在上可积，则
若在
上连续，其中等号当且仅当存在常数，使得时成立．（不同时为零）
3．不等式的应用
例1 已知，在上连续，
为任意实数．求证：
证 第