压轴大题高分练二.doc

1．(本小题总分值12分)(2019辽宁辽阳二模)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右核心 分不为F1，F2，下极点 为A，O为坐标原点，点O到直线AF2的距离 为，△AF1F2为等腰直角三角形．
(1)求椭圆C的规范方程．
(2)直线l与椭圆C分不交于M，N两点，假定直线AM与直线AN的歪 率之跟 为2，证实 ：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．
1．(1)解：由题意可知，直线AF2的方程为＋＝1，即－bx＋cy＋bc＝0，那么＝＝.
∵△AF1F2为等腰直角三角形，∴b＝c.
又a2＝b2＋c2，
解得a＝，b＝1，c＝1.
∴椭圆C的规范方程为＋y2＝1.
(2)证实 ：由(1)知A(0，－1)．
当直线l的歪 率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋t(t≠±1)，
代入＋y2＝1，得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0.
∴Δ＝16k2t2－4(1＋2k2)(2t2－2)＞0，即t2－2k2＜1.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，那么x1＋x2＝－，x1x2＝.
∵直线AM与直线AN的歪 率之跟 为2，
∴kAM＋kAN＝＋＝＋
＝2k＋＝2k－＝2，
收拾 得t＝1－k，
∴直线l的方程为y＝kx＋t＝kx＋1－k＝k(x－1)＋1.
显然直线y＝k(x－1)＋1经过定点(1，1)．
当直线l的歪 率不存在时，设直线l的方程为x＝m.
∵直线AM与直线AN的歪 率之跟 为2，设M(m，n)，那么N(m，－n)，
∴kAM＋kAN＝＋＝＝2，解得m＝1，
现在直线l的方程为x＝1.
显然直线x＝1也经过定点(1，1)．
综上，直线l恒过点(1，1)．
2．(本小题总分值12分)(2019山东济南3月模仿)曾经明白函数f(x)＝xln x－x2＋(a－1)x，其导函数f′(x)的最年夜 值为0.
(1)务虚数a的值．
(2)假定f(x1)＋f(x2)＝－1(x1≠x2)，求证：x1＋x2>2.
2．(1)解：由题意，函数f(x)的界说 域为(0，＋∞)，
其导函数f′(x)＝ln x－a(x－1)．
记h(x)＝f′(x)，那么h′(x)＝.
当a≤0时，h′(x)＝>0恒成破 ，
∴h(x)在(0，＋∞)上枯燥 递增，且h(1)＝0.
∴∀x∈(1，＋∞)，h(x)＝f′(x)＞0，故a≤0不成破 ．
当a＞0时，假定x∈(0，)，那么h′(x)＝＞0，
假定x∈(，＋∞)，那么h′(x)＝＜0.
∴h(x)在(0，)上枯燥 递增，在(，＋∞)上枯燥 递加．
∴h(x)max＝h()＝－ln a＋a－1＝0.
令g(a)＝－ln a＋a－1，那么g′(a)＝1－＝.
当0＜a＜1时，g′(a)＜0；当a＞1时，g′(a)＞0，
∴g(a)在(0，1)上枯燥 递加，在(1，＋∞)上枯燥 递增．
∴g(a)≥g(1)＝0，故a＝1.
(2)证实 ：当a＝1时，f(x)＝xln x－x2，那么f′(x)＝1＋ln x－x.
由(1)知f′(x)＝1＋ln x－x≤0恒成破 ，
∴f(x)＝xln x－x2在(0，＋∞)上枯燥 递加，
且f(1)＝－，f(x1)＋f(x2)＝－1＝2f(1)．
无妨设0＜x1＜x2，那么0＜x1＜1＜x