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实验报告数据滤波和数据压缩实验.docx


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实验报告数据滤波和数据压缩实验.docx
文档介绍:
Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】
实验报告数据滤波和数据压缩实验
实验题目:使用Haar小波和傅里叶变换方法滤波及数据压缩
1 实验目的
(1)掌握离散数据的Haar小波变换和傅里叶变换的定义,基本原理和方法
(2)使用C++实现数据的Haar小波变换和离散傅里叶变换
(3)掌握数据滤波的基本原理和方法
(4)掌握使用Haar小波变换和离散傅里叶变换应用于数据压缩的基本原理和方法,并且对两种数据压缩进行评价
2 实验步骤
算法原理
2.1.1 Haar小波变换
(1)平均,细节及压缩原理
设{x1,x2}是一组两个元素组成的信号,定义平均与细节为,。则可以将{a,d}作为原信号的一种表示,且信号可由{a,d}恢复,,。
由上述可以看出,当x1,x2非常接近时,d会很小。此时,{x1,x2}可以近似的用{a}来表示,由此实现了信号的压缩。重构的信号为{a,a},误差信号为。因此,平均值a可以看做是原信号的整体信息,而d可以看成是原信号的细节信息。用{a}近似的表示原信号,可以实现对原信号的压缩,而且丢失的细节对于最终信号的重构不会有重大影响。对于多元素的信号,可以看成是对于二元信号的一种推广。
(2)尺度函数和小波方程
在小波分析中,引入记号,其中,表示区间[1,0]上的特征函数。定义
称为Haar尺度函数。由上式可知,都可以由伸缩和平移得到。
小波分析中,对于信号有不同分辨率的表示,当用较低分辨率来表示原始信号时,会丢失细节信息,需要找到一个函数来描述这种信息,该函数称之为小波函数。基本的小波函数定义如下:
则。称为Haar小波。称为两尺度方程,称为小波方程。
(3)Haar小波变换计算方法
设是一个长度为(n>1)的离散信号序列,记为,该序列可以用如下的带有尺度函数来表示:
一次小波分解的结果:
对上式积分,由尺度函数的正交性,可得。令k=0,得到。
一般的,有
同理
2.1.2 傅里叶变换
(1)一维连续函数的傅里叶变换定义
设f(t)为连续的时间信号,则定义为f(t)的傅里叶变换,其反变换为。
(2)一维离散傅里叶变换
对连续的时间信号f(t)等间隔采样,得到离散序列f(n)。假设采样N次,则序列表示为。令n为离散变量,u为离散频率变量,则一维离散傅里叶变换及其反变换定义:
傅里叶变换的数学性质中,最重要的一点是:一个在时域或空域上看起来很复杂的信号(比如声音或图像)通常在频域上只集中在很小一块区域内,而很大一部分数值都接近于零。即一个在空域中看起来占满全空间的信号,从频域中很可能只占用了极小一块区域,而大部分频率是被为零的。这就得到一个极为实用的结论:一个看起来信息量很大的信号,其实可以只用极少的数据就可加以描述。只要对它先做傅里叶变换,然后只记录那些不接近零的频域信息就可以达到数据压缩的目的。
(3)快速傅里叶变换FFT原理
FFT的基本思想:将大点数的DFT分解为若干个小点数DFT的组合,从而减少运算量。
令,则F(u)可改写为。令N=2M,其中M为一正整数。带入式中
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