实验报告数据滤波和数据压缩实验.docx

Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】
实验报告数据滤波和数据压缩实验
实验题目：使用Haar小波和傅里叶变换方法滤波及数据压缩
1 实验目的
（1）掌握离散数据的Haar小波变换和傅里叶变换的定义，基本原理和方法
（2）使用C++实现数据的Haar小波变换和离散傅里叶变换
（3）掌握数据滤波的基本原理和方法
（4）掌握使用Haar小波变换和离散傅里叶变换应用于数据压缩的基本原理和方法，并且对两种数据压缩进行评价
2 实验步骤
算法原理
Haar小波变换
（1）平均，细节及压缩原理
设{x1，x2}是一组两个元素组成的信号，定义平均与细节为，。则可以将{a，d}作为原信号的一种表示，且信号可由{a，d}恢复，，。
由上述可以看出，当x1，x2非常接近时，d会很小。此时，{x1，x2}可以近似的用{a}来表示，由此实现了信号的压缩。重构的信号为{a，a}，误差信号为。因此，平均值a可以看做是原信号的整体信息，而d可以看成是原信号的细节信息。用{a}近似的表示原信号，可以实现对原信号的压缩，而且丢失的细节对于最终信号的重构不会有重大影响。对于多元素的信号，可以看成是对于二元信号的一种推广。
（2）尺度函数和小波方程
在小波分析中，引入记号，其中，表示区间[1，0]上的特征函数。定义
称为Haar尺度函数。由上式可知，都可以由伸缩和平移得到。
小波分析中，对于信号有不同分辨率的表示，当用较低分辨率来表示原始信号时，会丢失细节信息，需要找到一个函数来描述这种信息，该函数称之为小波函数。基本的小波函数定义如下：
则。称为Haar小波。称为两尺度方程，称为小波方程。
（3）Haar小波变换计算方法
设是一个长度为(n>1)的离散信号序列，记为，该序列可以用如下的带有尺度函数来表示：
一次小波分解的结果：
对上式积分，由尺度函数的正交性，可得。令k=0，得到。
一般的，有
同理
傅里叶变换
（1）一维连续函数的傅里叶变换定义
设f(t)为连续的时间信号，则定义为f(t)的傅里叶变换，其反变换为。
（2）一维离散傅里叶变换
对连续的时间信号f(t)等间隔采样，得到离散序列f(n)。假设采样N次，则序列表示为。令n为离散变量，u为离散频率变量，则一维离散傅里叶变换及其反变换定义：
傅里叶变换的数学性质中，最重要的一点是：一个在时域或空域上看起来很复杂的信号（比如声音或图像）通常在频域上只集中在很小一块区域内，而很大一部分数值都接近于零。即一个在空域中看起来占满全空间的信号，从频域中很可能只占用了极小一块区域，而大部分频率是被为零的。这就得到一个极为实用的结论：一个看起来信息量很大的信号，其实可以只用极少的数据就可加以描述。只要对它先做傅里叶变换，然后只记录那些不接近零的频域信息就可以达到数据压缩的目的。
（3）快速傅里叶变换FFT原理
FFT的基本思想：将大点数的DFT分解为若干个小点数DFT的组合，从而减少运算量。
令，则F(u)可改写为。令N=2M，其中M为一正整数。带入式中