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高等代数最重要的基本概念汇总精选文档
第一章基本概念
数环和数域
定义1设S是复数集C的一个非空子集,如果对于S中任意两个数a、b来说，a+b,a-b,ab都在S内，那么称S是一个数环。
定义2 设F是一个数环。如果
（i）F是一个不等于零的数；
（ii）如果a、bF,，并且b，，那么就称F是一个数域。
定理任何数域都包含有理数域，有理数域是最小的数域。
多项式
一元多项式的定义和运算
定义1数环R上的一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式
，
是非负整数而都是R中的数。
项式中，叫作零次项或常数项，叫作一次项，一般，叫作i次项的系数。
定义2若是数环R上两个一元多项式和有完全相同的项，或者只差一些系数为零的项，那么就说和就说是相等
定义3叫作多项式，的最高次项，非负整数n叫作多项式，的次数。
，并且，，那么
当时，
。
多项式的加法和乘法满足以下运算规则：
加法交换律：
；
2）加法结合律：
；
3）乘法交换律：
；
4）乘法结合律：
；
5）乘法对加法的分配律：
。

，且，那么
多项式的整除性
设F是一个数域。是F上一元多项式环
定义令和是数域F上多项式环的两个多项式。如果存在的多项式，使，我们说，整除（能除尽）。
多项式整除的一些基本性质：
1）如果，，那么
2）如果，，那么
3）如果，那么对于中的任意多项式来说，
4）果那么对于中任意
5）次多项式，也就是F中不等于零的数，整除任意多项式。
6）每一个多项式都能被整除，这里c是F中任意一个不等于零的数。
7）如果，，那么，这里c是F中的一个不等于零的数
设，是两个任意的多项式，并且。那么可以写成以下形式，这里，或者的次数小于的次数。
，并且。那么在中可以找到多项式和，使
（3）
这里或者，或者的次数小于的次数，满足以上条件的多项式只有一对。
设数域含有数域而和是的两个多项式，如果在里不能整除，那么在里也不能整除。
定义1假定是和的任一公因式，那么由
中的第一个等式，也一定能整除。同理，由第二个等式，也一定能整除。如此逐步推下去，最后得出能整除，这样，的确是和的一个最大公因式，这种求最大公因式的方法叫做展转相除法。
定义2设以除时，所得的商及余式，比较两端同次幂的系数得
，，…，，这种计算可以排成以下格式
用这种方法求商和余式（的系数）称为综合除法。
多项式的最大公因式
设F是一个数域。是F上一元多项式环
定义1令设和是的任意两个多项式，若是的一个多项式同时整除和，那么叫作与的一个公因式。
定义2设是多项式与的一个公因式。若是能被与的每一个公因式整除，那么叫作与的一个最大公因式。
。除一个零次因式外，与的最大公因式是唯一确定的，这就说，若是与的一个最大公因式，那么数域F的任何一个不为零的数c与的乘积c也是与的一个最大公因式；而且当与不完全为零时，只有这样的乘积才是与的最大公因式。
从数域F过度渡到数域时，与的最大公因式本质上没有改变。
定理若是的多项式与的最大公因式，那么在里可以求得多项式，使以下等式成立：
（2），那么以下等式成立：但显然不是与的最大公因。
定义3
如果的两个多项式除零次多项式外不在有其他的公因式，我们就说，这两个多项式互素。
定理的两个多项式与互素的充要条件是：在中可以求得多项式，使
（4）
从这个定理我们可以推出关于互素多项式的以下重要事实：
若多项式与都与多项式互素，那么乘积也与互素。
若多项式整除多项式与的乘积，而与互素，那么一定整除。
若多项式与都整除多项式，而与互素，那么乘积也整除
最大公因式的定义可以推广到个多项式的情形：
若是多项式整除多多项式中的每一个，那么叫作这n个多项式的一个公因式。若是的公因式能被这n个多项式的每一个公因式整除，那么叫作的一个最大公因式。
若是多项式的一个最大公因式，那么是多项式的最大公因式也是多项式的最大公因式。
若多项式除零次多项式外，没有其他的公因式，就是说这一组多项式互素。
多项式的分解
定义1的任何一个多项式，那么F的任何不为零的元素c都是的因式，另一方面，c与的乘积c也总是的因式。我们把这样的因式叫作它的平凡因式，
定义2令是的一个次数大于零的多项式。若是在只有平凡因式，说是在数域F上（或在中）不可约。若除平凡因式外，在中还有其他因式，就说