3D方位的四元数表示浅析(电).doc

3D方位的四元数表示浅析(电).doc3D方位的四元数表示浅析
吴险峰
(四川管理职业学院计算机系 四川成都610071)
摘要：介绍了用四元数用于3D方位表示和旋转计算相关的一些基本定义和计算规则，主要包括旋转转 换，角位移的计算，以及插值计算，并对四元数用于3D计算的优劣作了简单的评价
关键词： 四元数；3D；方位和旋转；
1四元数代数模型
四元数实际上是对复数同系统的扩展，由爱尔兰数学家William Hamilton所创造，他把 复数由2D扩展到3D,在计算机图形学中，特别是在图形旋转和球面线性插值方面可以用 四元数来构造变换的工具。
四元数也由实部和虚部构成，但有3个虚部即：w+ix+jy+kz ,其中，i2=j2=k2=-l ij=k,ji=-k jk=i, kj=-i ki =j, ik =-j,与之对应的四元数为[w,(x ,y ,z)],标准复数的许多性 质都可以运用在四元数上，四元数为我们提供了一种3D运算的记法，我们把3D空间上的 点(x,y,z)扩展到四元数空间，其相应的记法为[0,(x,y,z)],更为重要的是，四元数也能用于旋 转3D向量，这是我们在3D方位运算中引入四元数的主要原因。
作为一种完整系统的代数体系，四元数有一套完整的定义和运算规则，本文仅就涉及到 常用的3D方位计算的有关定义和规则作简单的介绍
2用四元数作旋转变换
与旋转变换相关有这样…些定义：
四元数的模：
|g| = |[w 3 J Z)]|| = Jw2 +/ +.2 +z2
= |[w v]|| = ^Jw2 +||v||2 (2-1)
四元数的共跑，四元数q[w v]的共匏q*,通过将四元数的向量部分变负获得： q*=[w v] =[w -v]=[w (-x -y -z)] (2-2)
四元数q的逆q』，定义为：
四元数的乘法：
[叫 M Vi Z{][w2 x2 v2 z2]
W{w2 -x{x2 _平2
/ 、
叫X, +z『，一乃 z,
= - - - - (2-4)
w{y2 +y{w2 +x,z2 -z,x2
\wlz2+zlw2+ylx2-xlyj_
如果我们设有一个3D点p [O,(x,y,z)], 一个四元数q[cos0,nsin0],执行以「卜'的乘法:
(2-5)
p'=qpqT
我们会看到，我们的得到的p'正是将点p绕向量n,绕旋20弧度的结果。
这不是一种巧合，，它 可以将一个3D向量绕任意轴n旋转，旋转角为0,而我们只需将qpq』展开，就会发现，它 与矩阵式其实是等价的。
~p'~
就(1 一cos0+cosQ (1 -cos0+nxsin。nxnz(l-cosff)-ny sin。
R(n, ff)=
q‘
—
久〃 (1 一cos0+久 sin。 (1 -cos。)+cosQ nn (1 -cos0+sin^
r'
nxny(l一cos0+ny sin。nynx(l-cosff)-nx sin^ 就(1 一cos^)+cosQ
(2-6)
3用四元数作多次连续旋转
四元数的乘法可以表示多重的旋转，我们可以把q'旋转绕n'旋转20'表示为：s=rqT\其 中r[cos0',n，sinO'],而由p到