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高等数学讲义长期班汪诚义第八章.pdf


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心之所向,所向披靡
第八章 无穷级数(数学一和数学三)
引言:所谓无穷级数就是无穷多项相加,它与有限项相加有本质不同,历史上曾经对一个
无穷级数问题引起争论。例如:
1 1 1 1 ( 1) n 1
历史上曾有三种不同看法,得出三种不同的“和”
第一种 (1 1) (1 1) (1 1) 0
第二种 1 (1 1) (1 1) (1 1) 1
n 1
第三种 设 1 1 1 1 ( 1) S
则 1 1 1 1 1 S
1
1 S S, 2S 1, S
2
这种争论说明对无穷多项相加,缺乏一种正确的认识。
1) 什么是无穷多项相加?如何考虑?
2) 无穷多项相加,是否一定有“和”?
3) 无穷多项相加,什么情形有结合律,什么情形有交换律等性质。因此对无穷级数的基本概
念和性质需要作详细的讨论。
§ 常数项级数
(甲) 内容要点
一、基本概念与性质
1. 基本概念
无穷多个数 u1, u2 , u3 , , un , 依次相加所得到的表达式 un u1 u 2 u3 un 称
n 1
为数项级数(简称级数) 。
n
Sn uk u1 u 2 u3 L un ( n 1,2,3, ) 称 为 级 数 的 前 n 项 的 部 分 和 ,
k 1
Sn (n 1,2,3, ) 称为部分和数列。
若 lim Sn (存在 ) S,则称级数 un 是收敛的 ,且其和为 S,记以 un S
n
n 1 n 1
若 lim Sn 不存在,则称级数 un 是发散的,发散级数没有和的概念。 (注:在某些特殊含义下
n
n 1
可以考虑发散级数的和,但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。 )
2. 基本性质
( 1) 如果
un和 vn皆收敛 ,,b为常数 ,则 (aun bvn )收敛 ,且等于 a un b vn
n 1 n 1 n 1 n 1 n 1
( 2) 在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。
( 3) 收敛级数具有结合律,也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛,而且其和不
变。发散级数不具有结合律,引言中的级数可见是发散的,所以不同加括号后得到级数
的情形就不同。
( 4) 级数 un收敛的必要条件是 lim un 0
n
n 1
n 1 n 1
(注:引言中提到的级数 ( 1) , 具有 lim 1 不存在 ,因此收敛级数的必要条件不满

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  • 时间2021-06-23