史上最全的数列通项公式的求法13种.docx

最全的数列通项公式的求法
数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。
而作为给出数列的一种形式一一通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项
公式的常用方法。
一、 直接法
根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。
二、 公式法
利用等差数列或等比数列的定义求通项
若已知数歹0的前n项和Sn与an的关系，求数歹0 an的通项an可用公式
an ' n 1求解.
& Sni n 2
(注，：求完后一定要考虑合并通项 )
例2.①已知数列an的前n项和Sn满足Sn 2an ( 1)n,n 1 .求数列a”的通项公式.
②已知数列an的前n项和Sn满足Sn n2 n 1，求数列an的通项公式.
已知等比数列an的首项ai 1，公比0 q 1，设数列bn的通项为bn an i an 2, 求数列 bn的通项公式。
③解析：由题意，bn 1 an 2 an 3, 乂 an是等比数列，公比为q
...E 色2一冬2 q,故数列 bn 是等比数歹0, b1 a2 a3 a〔q a〔q2 q(q 1),
bn an 1 an 2
•■- bn q(q 1)qn1 qn(q 1)
三、 归纳猜想法
如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想 出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。也可以猜想出规律，然后正面证明。
四、 累加(乘)法
对丁形如an1 an f(n)型或形如am f(n)an型的数列，我们可以根据递推公式，写出 n 取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加(或相乘)即可得到通项公式。
an中，a〔 3, an 1 an n ,求通项an。
例5. 在数歹0 an 中，a1 1 , an 1 2nan (n N ),求通项 an。
五、 取倒(对)数法
a、an 1 pan这种类型一般是等式 两边取对数后转化为a” 1 pa” q，再利用待定系数法求解
1 1 —
b、数列有形如f (an,an 1,anan 1) 0的关系，可在等式两边同乘以 ，先求出一,再求侍an.
anan 1 an
pan q。
c、an 1 一也耳一解法：这种类型一般是等式 两边取倒数后换元转化为an 1 g(n)an h(n)
例6.•设数列(an｝满足a1 2,
an 1
an /
o(n an 3
N),求 an.
例7设正项数列a”满足a1
1,
an 2a2 1
(n>2) .^数列an的通项公式.
解：两边取对数得：log；n
1
an 1
2 log 2 ，
log2n 1 2(log2n1 1),设 b log；n 1
则bn 2bn 1 bn是以2为公比的等比数列，b〔 log2 1 1.
bn 1 2n1 2n1 , Iog2n 1 2n1 , logan 2n1 1, an 2, 11
变式：

n
a
2
-
且
3-2
-
a
N n 2 n
-1
求数列｛由｝的通项公式；
2、 若数列的递推公式为ai 3,上 —2(n f:j),则求这个数列的通项公式。
an 1 an
3、 已知数