周期数列详解.docx

k N , kT也是数列｛an｝的周期。
，且n 2),则6是数列的一个周期。
且t为常数)，Sn分别为｛an｝的前n项
,则 an ar, Sn qSt Sr o
an 6 an )则 S2012 335 S6 S2
N )，则数列｛an｝是周期数列；
k,n N ),则数列｛an｝是周期数列。
,n N , s 0),则数列｛an｝是周期数
n N ),则数列｛an｝周期T=2 ；
s (n k, n N ),则数列｛an｝周期 T=3
,n N ),则数列｛an｝周期T=2 ；
k, n N ),则数列｛an｝周期T=3
周期数列
一、 周期数列的定义：
类比周期函数的概念，我们可定义：对于数列 ｛an｝,如果存在一个常数
T (T N ),使得对任意的正整数 n n°恒有 为t a”成立，贝U称数列｛a”｝是从第n°
项起的周期为T的周期数列。若n0 1,则称数列｛an｝为纯周期数列，若n0 2,则称
数列｛an｝为混周期数列，T的最小值称为最小正周期，简称周期。
设｛An｝是整数,m是某个取定的大于 1的正整数，若Bn是An除以m后的余数，即 Bn=An(mod m),且Bn在｛0,1,2,...,m-1｝, 则称数列｛Bn｝是｛An｝关于m的模数列，记作 ｛An(mod m)｝。若模数列｛An(mod m)｝是周期的，则称｛An｝是关于模m的周期数列。
二、 周期数列的性质
1、周期数列是无穷数列，其值域是有限集；
推论1若周期数列(业｝。
推沦2若RI不是常歌列,且】扁％存在,则｛队|不是周期
散列日
2、 如果T是数列｛an｝的周期，则对于任意的
3、 若数列｛an｝满足 an an 1 an 2 ( n N
4、 已知数列｛an｝满足an t an ( n,t N , 的和，若 n qt r (0 r t, r N )
特别地：数列｛an｝的周期为6,(即:
5、 若数列｛an｝满足 an an k s (n k, n
若数列｛an｝满足an an 1 an k s (n 若数列｛an｝满足 an an 1 an k s (n k
列。
特别地：数列｛an｝满足an an 1 s (n k, 数列｛an｝满足an an 1 an 2 数列｛an｝满足 anan 1 s(n k： 数列｛an｝满足 anan〔an 2 s (n
6、若数列｛an｝满足a”
aa b
-,a+d=0,则数列｛an｝是周期T=2 ； d
can
例：数列(an)满足
an
3an 1
an
N,则数列｛ an｝是周期T=2 ；；
3
三、周期数列性质的简单应用
1、求数列的通项公式
(1)数列 1, 2, 1,
2, 1,
2,
的通项公式
解析：原数列可构造成:
13 13 13 1
它的通项公式可以写成:
或者写成：an
又或者写成:
an
总结：一般的
(2) 1, 0, 1,
an
3 1
-sin( —
2 2
3 1
-—cos n
2 2
数列
an
解析：该数列周期为
3,
生联系。事实上，当
这样
所以,
1
2(a
‘22’
a,
b)
(1)n
(