向量长度计算公式及中点公式.docx

a ( x, y)，
简称向量长度的计算公式
课 题：平面向量的坐标运算--向量长度的计算公式和线段中点的坐标公式
教学目的：(1)理解平面向量长度的计算公式;
(2)掌握线段中点的坐标公式；
教学重点：线段中点的坐标公式
教学难点：公式的理解及应用.
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教学过程：
一、复****引入：
平面向量的坐标运算：若a (x1,y1), b (x2,y2)，则
a b (xi X2,yi y?), a b (xi x2,y〔 y2), 若 Aa’y。, B(x2,y2),则 AB 8为芈 y1).
二、讲解新课：
.平面向量长度的计算公式的推导：
如图，已知& x， yS (x, y),则
Ixell -x Ie1l lx, lyeel lyjeel .y.,
I
由勾股定理得，a J|x|2 |y|2 Jx2 y2 ,
上式即为根据向量a的坐标，求向量a的长度的计算公式 如果已知A(x1,y3 B(x2,y2),则有向量
T T T
AB OB OA (x2,y2) (。乂)(x2 x1，y2 y1) 所以, AB v'(x2 x1)2 (y2 y1)2.
上式即为根据向量
aB的坐标，求向量
的长度的计算公式，也称为向量长度的计算
公式，又称为两点间的距离公式
.线段中点的坐标公式的推导:
方法一：设线段AB的两个端点A(Xi, yi), B(X2, y2),线段AB的中点C (x, y),则
AC oC OA
CB OB OC
(x,y)(X,必)(x Xi,y %),
(X2,y2)(x, y) (X2 x,y2
y),
又C为线段
AB的中点，因此
X
,于是
y
X1 X2
yi V2
x
，得
y
x1 x2
X『y
AB的中点C的坐标计算公式，简称中点公式.
这就是线段
yi y2
2
三、讲解范例:
例1已知两点
A(3, 5),
B(
1, 7),求向量
的长度.
解：(方法一)
：AB OB oA=( 1,
7)
(3, 5) = ( 4, 2), I AB ，.(-4)2 ( 2)2 2 5.
(方法二)直接由公式
得,AB《
X2 X1)2 (y2 y1)2 . ( 1 3)2 [ 7 ( 5)]2
25.
。中心对称.
例2试证点A(x,y)与B(-x,-y)关于平面直角坐标系 Oxy的原点
证明：设线段AB的中点坐标为(xo, yo)，根据中点公式有
xo ^^ 0, yo ^y
2 2
0.
即线段AB的中点坐标为(0,0),这表明线段AB的中点是平面直角坐标系 Oxy的原点O,所以
点A(x,y)与B(-x,-y)关于平面直角坐标系 Oxy的原点。中心对称.
求顶点D的坐标.
例3已知平行四边形 ABCD勺顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(3,1),
二(-1,-2)+(3,1)-(3,-1)=(-1,0),
[OS OA AS- OA BC OA OC OB
••D(-1,0).
(方法二)设 D(x,y),
AD =(x,y)- (-1,-2)=(x+1,y+2),
=(3,