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向量法证明三点共线的又一方法及应用
蒋李萍 2011年10月24日
平面向量既具有数量特征， 又具有图形特征，学****向量的应用，可以启发同学们从新的视角去分析、 解 决问题，
— T —
原题 已知OB = ?OA + QC ,其中入+然=：A、B、C三点共线
思路：通过向量共线
(如AB = kAC)得三点共线.
证明：如图，由入+
)I = 1 得入=1 — 1!，则
OB= 2OA +
花%―)OA+泥
—T — —I
, OB -OA="OC -OA)
, AB= mAc
二A、B、C三点共线.
思考： ，点O具有灵活性；
(证明略)：若A、B、C三点共线，则存在唯一实数对 入、上 满
— T —
足OB = QA十QC，且入+然=；
1,315,二
，入二尸—时，OB = —(OA+OC),点B为AC的中点，揭示了 OAC
2 2
中线OB的一个向量公式，应用广泛.
应用举例:
… 一一一， 一 一，，，」」 ，一 ，一 1
例1如图，平行四边形 ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN =—BD .利用向 3
量法证明：M、N、C三点共线.
— —> T
思路分析：选择点 B ,只须证明BN = BM + mBC ,且入+然=1.
证明：由已知 BD=BA+BC,又点N在BD上，且BN =
D
T L 1 T r 1r L
BN = -BD =—(BA BC) = —BA - BC
3 3 3 3
又点M是AB的中点,
,即 BA =2BM
3
^21
而——=1
3 3
，M、N、C三点共线.
点评：证明过程比证明 MN
= mMC'简洁.
例2如图，平行四边形 OACB中,
1 BD =—BC
3
,OD与AB相交于
思路分析：可以借助向量知识,
只须证明:
r 1 r
BE =—BA ,而
4
= BO'+BC，又O、D、E三点共线，存在唯一实数对 入、必
T — T
且入+然=1，使BE = ABO D
,从而得到BE与BA的关系.
证明：由已知条件， BA = BO+BC,又B、E、A三点共
线，可设BE =kBA,则
BE =kBO kBC
又O、E、D三点共线，则存在唯一实数对
入、
中使BE = ABO+ mBD，且入+然=1.
1
又 BD BC
3
-T 1
，BE = ABO + —
3
k」
4
入」
4
3
N =
4
根据①、②得
1 .一
{k = 一 [i ,斛