主要内容
1. 小波的发展历史
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——工程到数学
,通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式,当时未能得到数学家的认可。幸运的是,,,小波分析才开始蓬勃发展起来。
小波变换是近十几年新发展起来的一种数学工具,是继一百多年前的傅里叶(Fourier)分析之后的又一个重大突破,它对无论是古老的自然学科还是新兴的高新应用技术学科均产生了强烈的冲击。
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——工程到数学
1909: Alfred Haar——发现了Haar小波
1980:Morlet——Morlet小波,并分别与20世纪70年代提出了小波变换的概念,20世纪80年代开发出了连续小波变换CWT( continuous wavelet transform )
1986:——提出了第一个正交小波Meyer小波
1988: Stephane Mallat——Mallat快速算法(塔式分解和重构算法)
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——工程到数学
1988: Inrid Daubechies作为小波的创始人,揭示了小波变换和滤波器组(filter banks)之间的内在关系,使离散小波分析变成为现实。
Ronald Coifman和Victor Wickerhauser等著名科学家在把小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要贡献在信号处理领域中,自从Inrid Daubechies完善了小波变换的数学理论和Stephane Mallat构造了小波分解和重构的快速算法后,小波变换在各个工程领域中得到了广泛的应用,典型的如语音信号处理、医学信号处理、图像信息处理等。
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小波分析是在傅里叶分析的基础上发展起来的,但小波分析与傅里叶分析存在着极大的不同,与Fourier变换相比,小波变换是空间(时间)和频率的局部变换,因而能有效地从信号中提取信息。通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析,解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。小波变换联系了应用数学、物理学、计算机科学、信号与信息处理、图像处理、地震勘探等多个学科。
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傅立叶变换的理论是人类数学发展史上的一个里程碑,从1807年开始,直到1966年整整用了一个半世纪多才发展成熟,她在各个领域产生了深刻的影响得到了广泛的应用,推动了人类文明的发展。其原因是傅立叶理论不仅仅在数学上有很大的理论价值,更重要的是傅立叶变换或傅立叶积分得到的频谱信息具有物理意义。遗憾的是,这种理论具有一定的局限性。
用傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信号的全部时域信息。
傅立叶变换没有反映出随着时间的变化信号频率成分的变化情况。
傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳信号的突变成分。
由于上述原因,必须进一步改进,克服上述不足,这就导致了小波分析。
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(1)克服第一个不足:小波系数不仅像傅立叶系数那样,是随频率不同而变化的,而且对于同一个频率指标j, 在不同时刻 k,小波系数也是不同的。
(2)克服第二个不足:由于小波函数具有紧支撑的性质即某一区间外为零。这样在求各频率水平不同时刻的小波系数时,只用到该时刻附近的局部信息。从而克服了上面所述的第二个不足。
(3)克服第三个不足:通过与加窗傅立叶变换的“时间—频率窗”的相似分析,可得到小波变换的“时间—频率窗”的笛卡儿积。小波变换的“时间--频率窗”的宽度,检测高频信号时变窄,检测低频信号时变宽。这正是时间--频率分析所希望的。根据小波变换的 “时间—频率窗” 的宽度可变的特点,为了克服上面所述的第三个不足,只要不同时检测高频与低频信息,问题就迎刃而解了。
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小波是什么?
小波可以简单的描述为一种函数,这种函数在有限时间范围
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