新教材2020 2021学年高一数学下学期暑假训练8空间向量与立体几何.docx

新教材2020_2021学年高一数学下学期暑假训练8空间向量与立体几何8 空间向量与立体几何
例1．在平行六面体中，设，，，E，F分别是AD1，BD的中点．
（1）用向量表示，；
（2）若，求实数x，y，z的值．
例2．如图，长方体的底面ABCD是正方形，点E为棱AA1的中点，，．
（1）求点B到平面B1C1E的距离；
（2）求二面角的正弦值．
一、选择题．
1．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（）
A． B． C． D．
2．若向量，，且与的夹角余弦为，则λ等于（）
A． B． C．或 D．2
二、填空题．
3．下列关于空间向量的命题中，正确的有________．
①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；
②若非零向量，，满足，，则有；
③若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面；
④若向量，，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底．
4．在空间直角坐标系中，若点，，则_______．
5．点关于平面xOz的对称点是________，关于z轴的对称点是________，关于的对称点是________．
三、解答题．
6．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，已知AB∥DC，AB⊥AD，△SAD是正三角形，且平面SAD⊥平面ABCD，AD＝AB＝2DC＝2，F为SB的中点．
（1）求异面直线SA与FC所成角的大小；
（2）在棱SB上是否存在点Q，使平面SAC与平面QAC所成的锐二面角为？若存在，求出的大小；若不存在，请说明理由．
7．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝AA1＝2，点O为AB中点，点D为AA1中点．
（1）求平面ABC与平面B1CD所成锐二面角的大小；
（2）已知点E满足，当异面直线DE与CB1所成角最小时，求实数λ的值．
答案与解析
例1．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1），
．
（2），
所以．
例2．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
则B(1，0，0），B1(1，0，2），C1(1，1，2），E(0，0，1），
∴，，，
设平面B1C1E的法向量，
则，取u＝1，得，
∴点B到平面B1C1E的距离为．
（2）∵C1(1，1，2），E(0，0，1），C(1，1，0），
∴，，
设平面CC1E的法向量，
则，取x＝1，得，
设二面角B1﹣EC1﹣C的平面角为θ，则，
∴，
∴二面角B1﹣EC1﹣C的正弦值为．
一、选择题．
1．【答案】A
【解析】
，
故选A．
2．【答案】A
【解析】∵向量，，
∴，解得，
故选A．
二、填空题．
3．【答案】①③④
【解析】对于①：若向量，与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即，故①正确；
对于②：若非零向量，，满足，，则与不确定，可能共线，故②错误；
对于③：若，，是空间的一组基底，且，
则，即，
可得到四点共面，故③正确；
对于④：若向量，，，是空间一组基底，则空间任意一个向量，
存在唯一实数组，使得，
由的唯一性，则，，也是唯一的，
则，，也是空间的一组基底，故④正确，
故答案为①③④．
4．【答案】
【解析】空间直角坐标系中，点，，
则，
故答案为．
5．【答案】，，
【解析】点关于平面xOz的对称点是，
关于z轴的对称点是，
设点关于的对称点为，
则，解得，
故点关于点的对称点为，
故答案为，，．
三、解答题．
6．【答案】（1）90°；（2）存在，．
【解析】（1）∵在四棱锥S﹣ABCD中，已知AB∥DC，AB⊥AD，△SAD是正三角形，
平面SAD⊥平面ABCD，AD＝AB＝2DC＝2，F为SB的中点，
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
设异面直线SA与FC所成角为，
则，∴θ＝90°，
∴异面直线SA与FC所成角的大小为90°．
（2）假设在棱SB上存在点Q（a，b，c），，(0≤λ≤1)，使平面SAC与平面QAC所成的锐二面角为，
则，即，
解得a＝2λ，b＝1﹣λ，，
∴，，，，
设平面ACQ的法向量，
则，
取x＝2，得；
设