D14无穷小无穷大PPT课件.pptx

例3. 证明
证:
故
取
当
时, 必有
因此
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3. 左极限与右极限
左极限 :
当
时, 有
右极限 :
当
时, 有
定理 3 .
( P39 题*11 )
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函数极限的性质
2. 函数极限的局部保号性（P37定理3）
1. 函数极限的局部有界性（P36定理2）
3. 函数极限的唯一性 （P36定理1）
4. 函数极限与数列极限的关系（P37定理4）
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第一章
二、 无穷大
三 、 无穷小与无穷大的关系
一、 无穷小
第四节
无穷小与无穷大
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当
一、 无穷小（量）
定义1 . 若
时, 函数
则称函数
例如 :
函数
当
时为无穷小;
函数
时为无穷小;
函数
当
为
时的无穷小（量） .
时为无穷小.
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其中 为
时的无穷小量 .
定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
证:
当
时,有
对自变量的其他变化过程类似可证 .
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二、 无穷大（量）
定义2 . 若任给 M > 0 ,
一切满足不等式
的 x , 总有
则称函数
当
时为无穷大,
使对
若在定义中将 ①式改为
①
则记作
(正数 X ) ,
记作
总存在
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注意:
无穷小并不是很小的数，无穷大不是很大的数,
它是描述函数的一种状态.
2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !
例如, 函数
但
不是无穷大 !
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例 . 证明
证: 任给正数 M ,
要使
即
只要取
则对满足
的一切 x , 有
所以
若
则直线
为曲线
的铅直渐近线 .
铅直渐近线
说明:
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三、无穷小与无穷大的关系
若
为无穷大,
为无穷小 ;
若
为无穷小, 且
则
为无穷大.
则
(自证)
据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为
无穷小来讨论.
定理2. 在自变量的同一变化过程中,
说明:
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