相似矩阵与二次型.ppt

第5章 相似矩阵与二次型
向量的内积、正交化方法
方阵的特征值与特征向量
相似矩阵
实对称矩阵的相似矩阵
二次型及其矩阵表示
二次型的标准形
正定二次型
相似矩阵与二次型
向量的内积、正交化方法

定义1 设有 维向量
称为向量 与 的内积
向量的内积具有下列性质
令
相似矩阵与二次型

定义2 设
令
称为向量 的长度（或范数）.
向量的长度具有下列性质
性质1 非负性:当
时,
;当
时,
性质2 齐次性:
（
为实数）.
性质3 三角不等式
则
.
相似矩阵与二次型
当
时,
可以证明
称为
维向量
与
的夹角.
当
时,称向量
与
显然,零向量与任何向量都正交.
正交.
相似矩阵与二次型

定义3 一组两两正交的非零向量组,称为正交向量组.
两两正交的单位向量组,称为单位正交向量组, 记作
正交向量组有下列性质：
性质1 若
是正交向量组,则
无关.
性质2 设
为单位正交向量组,
为同维数的任一
若存在数
,使
则
线性
向量,
.
相似矩阵与二次型
例1 已知两个3维向量
正交,求一个非零向量
使
两两正交.
解: 记
,则
应满足齐次线性方程组
即
因为
所以同解方程组为
,通解为
一基础解系为
,取
即可.
,
相似矩阵与二次型
(施密特（Schimidt）正交化过程 )
设
为一线性无关向量组
（1）正交化
取
依次类推,一般的,有
可以证明,
两两正交,且与
等价.
（2）单位化
令
则
为单位正交向量组,且
等价.
相似矩阵与二次型
例2 已知
,求一组非零向量
,使
两两正交.
解：
应该满足
即
其同解方程组为
它的通解为
一基础解系为
，
相似矩阵与二次型
把基础解系正交化，即为所求．取
于是得
即为所求.
相似矩阵与二次型
阶矩阵
正交矩阵
定义4 如果
满足
,那么称
为正交矩阵，简称正交阵．
例如：
都是正交矩阵．
相似矩阵与二次型