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当
一、 无穷小1、概念
定义1 . 若
时 , 函数
则称函数
例如 :
函数
当
时为无穷小;
函数
时为无穷小;
函数
当
为
时的无穷小 .
时为无穷小.
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说明:
1、除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !
因为
当
时,
显然 C 只能是 0 !
C
C
时 , 函数
(或 )
则称函数
为
定义1. 若
(或 )
时的无穷小 .
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说明
2、强调 ,当 发生改变，则可能不是无穷小。
例如：

3、记法特殊。  、β、γ
(或 )
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思考：
1、无穷小是不是一个很小的数？ 函数（变量）
2、零是不是无穷小？特殊函数。 是
3、极限是不是数？ 是常数
4、无穷小与极限的和是不是数？ 函数

由之，引入二者关系
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其中 为
时的无穷小量 .
2、无穷小与函数极限的关系 定理 1 .
证:
当
时,有
对自变量的其它变化过程类似可证 . P30例
函数与其极限的差
为一个无穷小量。
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3、无穷小的性质 ： 有限个无穷小的和也是无穷小.
时, 有
证: 考虑两个无穷小的和 .
设
当
时 , 有
当
时 , 有
取
则当
因此
这说明当
时,
为无穷小量 .
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类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 .两无穷小的差呢？和与差在代数中可互相转化 因此结论同样成立
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. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .
证: 设
又设
即
当
取
则当
时 , 就有
即
是
时的无穷小 .
推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .上页问题可解
推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .P31例
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二、 无穷大1、概念
定义2 . 若任给 M > 0 ,
一切满足不等式
的 x , 总有
则称函数
当
时为无穷大,
使对
若在定义中将 ①式改为
①
则记作
(正数 X ) ,
记作
总存在
将x换为正整数n，即为数列无穷大的定义。
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思考:
无穷大是不是一个很大的数？ 它是变量，描述函数的一种状态.
2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但无穷大与无界量 是否一样？不是。P32反例
例如, 函数
当
但
所以
时 ,
不是无穷大 !
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