线性代数43PPT课件.pptx

矩阵
线性
方程组
有限
向量组
系数矩阵
增广矩阵
有限向量组与矩阵一一对应
Ax = b 有解
当且仅当
向量 b 可由矩阵 A的列向量组线性表示
课本P. 88定理4：
向量组 A：a1, a2, …, am 线性相关的充要条件是矩阵 A = (a1, a2, …, am ) 的秩小于向量的个数 m ；
向量组 A：a1, a2, …, am 线性无关的充要条件是矩阵 A = (a1, a2, …, am ) 的秩等于向量的个数 m ．
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回顾：矩阵的秩
定义：在 m×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k ≤ m，k≤n)，
位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在 A中所处
的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式．
规定：零矩阵的秩等于零．
定义：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有
r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵
A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A)．
结论： 矩阵的秩
= 矩阵中最高阶非零子式的阶数
= 矩阵对应的行阶梯形矩阵的非零行的行数
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向量组的秩的概念
定义：设有向量组 A ，如果在 A 中能选出 r 个向量a1, a2, …,
ar，满足
向量组 A0 ：a1, a2, …, ar 线性无关；
向量组 A 中任意 r + 1个向量（如果 A 中有r + 1个向量的话）都线性相关；
那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大线性无关向量组，
简称最大无关组．
最大无关组所含向量个数 r 称为向量组 A 的秩，记作RA ．
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例：求矩阵 的秩，并求 A 的一个
最高阶非零子式．
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第二步求 A 的最高阶非零子式．选取行阶梯形矩阵中非零行
的第一个非零元所在的列
，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、
二、四列．
解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．
行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故R(A) = 3 ．
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R(A0) = 3，计算 A0的前 3 行构成的子式
因此这就是 A 的一个最高阶非零子式．
结论：矩阵的最高阶非零子式一般不是唯一的，但矩阵的秩
是唯一的．
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事实上，
根据 R(A0) = 3 可知： A0的 3 个列向量就是矩阵 A 的列向量组的一个线性无关的部分组．
在矩阵 A 任取 4 个列向量，根据 R(A) = 3 可知：A中所有4 阶子式都等于零，从而这 4 个列向量所对应的矩阵的秩小于 4，即这 4 个列向量线性相关．
A0的 3 个列向量就是矩阵 A 的列向量组的一个最大线性无关组．
矩阵 A 的列向量组的秩等于 3．
同理可证，矩阵 A 的行向量组的秩也等于 3．
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矩阵
线性
方程组
有限
向量组
系数矩阵
增广矩阵
有限向量组与矩阵一一对应
矩阵的秩等于列（行）向量组的秩
Ax = b 有解
当且仅当
向量 b 能否由向量组 A 线性表示
一般地，
矩阵的秩等于它的列向量组的秩．
矩阵的秩等于它的行向量组的秩．（ 定理6）
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