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线性代数的知识点地总结汇总情况.docx


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文档列表 文档介绍
线性代数知识点总结
1 行列式
〔一〕行列式概念和性质
1、逆序数:所有的逆序的总数
2、行列式定义:不同行不同列元素乘积代数和
3、行列式性质:〔用于化简行列式〕
〔1〕行列互换〔转置〕,行列式的值不变
〔2〕两行〔列〕互换,行列式变号
〔3〕提公因式:行列式的某一行〔列〕的所有元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式
〔4〕拆列分配:行列式中如果某一行〔列〕的元素都是两组数之和,那么这个行列式就等于两个行列式之和。
〔5〕一行〔列〕乘k加到另一行〔列〕,行列式的值不变。
〔6〕两行成比例,行列式的值为0。
〔二〕重要行列式
4、上〔下〕三角〔主对角线〕行列式的值等于主对角线元素的乘积
5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘
6、Laplace展开式:〔A是m阶矩阵,B是n阶矩阵〕,如此
7、n阶〔n≥2〕X德蒙德行列式
数学归纳法证明
★8、对角线的元素为a,其余元素为b的行列式的值:
〔三〕按行〔列〕展开
9、按行展开定理:
〔1〕任一行〔列〕的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值
〔2〕行列式中某一行〔列〕各个元素与另一行〔列〕对应元素的代数余子式乘积之和等于0
〔四〕行列式公式
10、行列式七大公式:
〔1〕|kA|=kn|A|
〔2〕|AB|=|A|·|B|
〔3〕|AT|=|A|
〔4〕|A-1|=|A|-1
〔5〕|A*|=|A|n-1
〔6〕假如A的特征值λ1、λ2、……λn,如此
〔7〕假如A与B相似,如此|A|=|B|
〔五〕克莱姆法如此
11、克莱姆法如此:
〔1〕非齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么方程为唯一解
〔2〕如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解,如此它的系数行列式必为0
〔3〕假如齐次线性方程组的系数行列式不为0,如此齐次线性方程组只有0解;如果方程组有非零解,那么必有D=0。
2矩阵
〔一〕矩阵的运算
1、矩阵乘法须知事项:
〔1〕矩阵乘法要求前列后行一致;
〔2〕矩阵乘法不满足交换律;〔因式分解的公式对矩阵不适用,但假如B=E,O,A-1,A*,f(A)时,可以用交换律〕
〔3〕AB=O不能推出A=O或B=O。
2、转置的性质〔5条〕
〔1〕〔A+B〕T=AT+BT
〔2〕〔kA〕T=kAT
〔3〕〔AB〕T=BTAT
〔4〕|A|T=|A|
〔5〕〔AT〕T=A
〔二〕矩阵的逆
3、逆的定义:
AB=E或BA=E成立,称A可逆,B是A的逆矩阵,记为B=A-1
注:A可逆的充要条件是|A|≠0
4、逆的性质:〔5条〕
〔1〕〔kA〕-1=1/k·A-1 (k≠0)
〔2〕〔AB〕-1=B-1·A-1
〔3〕|A-1|=|A|-1
〔4〕〔AT〕-1=〔A-1〕T
〔5〕〔A-1〕-1=A
5、逆的求法:
〔1〕A为抽象矩阵:由定义或性质求解
〔2〕A为数字矩阵:〔A|E〕→初等行变换→〔E|A-1〕
〔三〕矩阵的初等变换
6、初等行〔列〕变换定义:
〔1〕两行〔列〕互换;
〔2〕一行〔列〕乘非零常数c
〔3〕一行〔列〕乘k加到另一行〔列〕
7、初等矩阵:单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵。
8、初等变换与初等矩阵的性质:
〔1〕初等行〔列〕变换相当于左〔右〕乘相应的初等矩阵
〔2〕初等矩阵均为可逆矩阵,且Eij-1=Eij〔i,j两行互换〕;
Ei-1〔c〕=Ei〔1/c〕〔第i行〔列〕乘c〕
Eij-1〔k〕=Eij〔-k〕〔第i行乘k加到j〕
★〔四〕矩阵的秩
9、秩的定义:非零子式的最高阶数
注:〔1〕r〔A〕=0意味着所有元素为0,即A=O
〔2〕r〔An×n〕=n〔满秩〕←→|A|≠0←→A可逆;
r〔A〕<n←→|A|=0←→A不可逆;
〔3〕r〔A〕=r〔r=1、2、…、n-1〕←→r阶子式非零且所有r+1子式均为0。
10、秩的性质:〔7条〕
〔1〕A为m×n阶矩阵,如此r〔A〕≤min〔m,n〕
〔2〕r〔A±B〕≤r〔A〕±〔B〕
〔3〕r〔AB〕≤min{r〔A〕,r〔B〕}
〔4〕r〔kA〕=r〔A〕〔k≠0〕
〔5〕r〔A〕=r〔AC〕〔C是一个可逆矩阵〕
〔6〕r〔A〕=r〔AT〕=r〔ATA〕=r〔AAT〕
〔7〕设A是m×n阶矩阵,B是n×s矩阵,AB=O,如此r〔A〕+r〔B〕≤n
11、秩的求法:
〔1〕A为抽象矩阵:由定义或性质求解;
〔2〕A为数字矩阵:A→初等行变换→阶梯型〔每行第一个非零元素下面的元素均为0〕,如此r〔A〕=非零行的行数
〔五〕伴随矩阵
12、伴随矩阵的性质:〔8条〕
〔1〕AA*=A*A=|

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  • 时间2021-07-07