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函数的泰勒级数函数展开.ppt

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文档列表 文档介绍

第五节函数的泰勒级数
一、泰勒级数
二、函数展开成幂级数
三、欧拉公式
函数的泰勒级数函数展开
一、泰勒(Taylor)级数
上节例题
给出 f (x) , 是否存在幂级数在其收敛域内以 f (x)为和函数，即：
问题:
, an 是什么?
?
?
函数的泰勒级数函数展开
其中
( 在 x 与 x0 之间)
称为拉格朗日余项 .
若函数 f (x) 在 x0 的某邻域内具有 n + 1 阶导数,
此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒(Taylor)公式 ,
则在该邻域内有 :
回顾：
函数的泰勒级数函数展开
问题泰勒级数在收敛区间是否收敛于 f (x)?
不一定.
定义如果f (x)在点x0处任意阶可导,则幂级数
称为f (x)在点 x = x0 的泰勒级数.
称为 f (x)在点 x = 0 的麦克劳林级数.
函数的泰勒级数函数展开
可见
在x=0点任意可导,
函数的泰勒级数函数展开
函数的泰勒级数函数展开
充分性
证明
必要性
函数的泰勒级数函数展开

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