极限的概念正式版.docx

极限的概念
教学目的：理解数列和函数极限的概念；
教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限；
教学难点：数列和函数极限的理解
教学过程：
一、实例引入：
例：战国时代哲学家庄周所著的《庄子・天下篇》引用过一句话： “一尺之植，日取其半，
万世不竭。”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下 去。（1）求第n天剩余的木棒长度 an（尺），并分析变化趋势；（2）求前n天截下的木棒的总长 度bn（尺），并分析变化趋势。
观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数 n无限增大时，数列的项 an无限趋近于某
个常数A （即an -A无限趋近于0）。an无限趋近于常数 A,意指“ an可以任意地靠近 A, 希望它有多近就有多近，只要 n充分大，就能达到我们所希望的那么近。 ”即“动点an到A的
距离,an -A可以任意小。 二、新课讲授 1、数列极限的定义：
一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列 ｛an｝的项an无限趋近于某个常数 A （即
'an -A无限趋近于0）,那么就说数列｛an｝的极限是A,记作
lim an = A n ）二
注：①上式读作“当 n趋向于无穷大时，an的极限等于A"。“n-> 8”表示“ n趋向于无穷
大”，即n无限增大的意思。lim an = A有时也记作当nT oo时 anT A n •:二 n n
若没有，说明理由
写出极限;
②引例中的两个数列的极限可分别表示为 ③思考：是否所有的无穷数列都有极限？ 例1:判断下列数列是否有极限，若有，
(1)
工....
n 1
(3) —2, —2, —2,
…，一2,…；(4) — , , — ,…,
(-)n,
(5) — 1,1, —1,…，(-1)n,
注：几个重要极限：
..
lim =0 (2) limC=C (C是常数)
n—n n 武
⑶ 无穷等比数列{qn} ( q <1)的极限是0,即：lim qn =0(q <1)
2、当XT 8时函数的极限
(1)画出函数y = 1的图像，观察当自变量 x取正值且无限增大时，函数值的变化情况: x
1
函数值无限趋近于 0,这时就说，当X趋向于正无穷大时，函数 y=1 小y
1 '
的极限是0,记作：lim 1 = 0 \
x~r^x
一般地，当自变量x取正值且无限增大时，如果函数 " 4
y = f (x)的值无限趋近于一个常数 A,就说当x趋向于正无穷大时，函 \
y = f (x)的极限是A,记作：lim f(x) = A
x_J 二
也可以记作，当 xt +如•时，f(x)T A
1
(2)从图中还可以看出，当自变量 x取负彳1而x无限增大时，函数 y=—的值无限趋近
x
于0,这时就说，当x趋向于负无穷大时，函数
y = 1的极限是0,记作: x
般地，当自变量x取负值而x无限增大时，如果函数 y = f (x)的值无限趋近于一个
常数A,就说当x趋向于负无穷大时，函数 y=f(x)的极限是A,记作：lim f(x) = A x )一二二
也可以记作，当 xt ■时，f(x)T A
，一…… … …一一，， 一 1 ，一 〜
(3)从上面