连续系统的数字仿真PPT学习教案.pptx

会计学
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连续系统的数字仿真
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数值积分法
连续系统通常把数学模型化为状态空间表达式，为了对n阶连续系统在数字计算机上仿真及求解，就要采用数值积分法来求解系统数学模型中的n个一阶微分方程。
设n阶连续系统由以下n个一阶微分方程组成
（3-1）
所谓数值积分法，就是要逐个求出区间［a ,b］内若干个离散点a≤ t0 < t1<… <tn≤b处的近似值x(t1),x(t2),…,x(tn)。
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欧拉法
欧拉法又称折线法或矩形法，是最简单也是最早的一种数值方法
将式（3-1）中的微分方程两边进行积分，得
即
通常假设离散点t0,t1,…,tn是等距离的，即tk+1-tk=h, 称h为计算步长或步距。
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当t>t0时，x(t)是未知的，因此式（3-2）右端的积分是求不出的。为了解决这个问题，把积分间隔取得足够小，使得在tk与tk+1之间的f(t,x(t))可以近似看作常数f(tk,x(tk))，这样便得到用矩形公式积分的近似公式
或简化为

这就是欧拉公式。
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以x(t0)=x0作为初始值，应用欧拉公式，就可以一步步求出每一时刻tk的xk值，
即 k =0,x1≈x0+f(t0,x0)h
k=1, x2≈x1+f(t1,x1)h
┇
k=n-1,
xn≈xn-1+f(tn-1,xn-1)h
这样式(3-1)的解x(t)就求出来了。欧拉法的计算虽然比较简单，但精度较低。图3-1为欧拉法的几何解释。
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梯形法 由上可知欧拉公式中的积分是用矩形面积f(tk,xk)h 来近似的。
由图3-2知，用矩形面积tkabtk+1代替积分，其误差就是图中阴影部分。为了提高精度现用梯形面积tkactk+1来代替积分，即
于是可得梯形法的计算公式为
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由于上式右边包含未知量xk+1,所以每一步都必须通过迭代求解，每一步迭代的初值xk+1(0)通常采用欧拉公式来计算，因此梯形法每一步迭代公式为
　　　　　　
3-3）
式中 迭代次数R=0,1,2,…
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预估－校正法
　　虽然梯形法比欧拉法精确，但是由于每一步都要进行多次叠代，计算量大，为了简化计算，有时只对式（3-3）进行一次叠代就可以了，因此可得
通常称这类方法为预估－校正方法。它首先根据欧拉公式计算出xk+1的预估值xk+1(0)　，然后再对它进行校正，以得到更准确的近似值xk+1(1)。
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龙格－库塔法
根据泰勒级数将式（3-1）在tk+1=tk+h时刻的解xk+1=x(tk+h) 在tk附近展开，有

3-5）
可以看出，提高截断误差的阶次，便可提高其精度，但是由于计算各阶导数相当麻烦，所以直接采用泰勒级数公式是不适用的，为了解决提高精度问题，龙格和库塔两人先后提出了间接使用泰勒级数公式的方法，即用函数值f (t,x)的线性组合来代替f (t,x)的导数，然后按泰勒公式确定其中的系数, 这样既能避免计算f (t,x)的导数，又可以提高数值计算精度，其方法如下。
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因
故式（3-5）可写成
（3-6）
为了避免计算式（3-6）中的各阶导数项，可令xk+1由以下多项式表示。
（3-7）
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