常微分方程教案(ppt).ppt

常微分方程课件制作者:闫宝强,傅希林,刘衍胜,范进军,劳会学,张艳燕第一章初等积方法第五章定性与稳定性概念第三章线性微分方程第二章基本定理第四章线性微分方程组第六章一阶偏微方程初步第1讲微分方程与解微分方程 什么是微分方程?它是怎样产生的?这是首先要回答的问题. ? 300 多年前,由牛顿(Newton,1642-1727) 和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716) 所创立的微积分学,是人类科学史上划时代的重大发现,而微积分的产生和发展,,,运动规律很难全靠实验观测认识清楚,,运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间, 通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系,我们容易捕捉到这种联系,而这种联系,用数学语言表达出来,,,将会使你看到微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言. ?例 1 物体下落问题 设质量为 m的物体,在时间 t =0 时,在距地面高度为 H处以初始速度 v (0) = v0垂直地面下落,求 ss此物体下落时距离与时间的关系. 解如图 1-1 建立坐标系,设为 ?加速度为?质量为 m的物体,在下落的任一时刻所受到的外力有重力 mg 和空气阻力,当速度不太大时, F = ma (力= 质量×加速度) 可以列出方程?() 其中 k>0为阻尼系数, g是重力加速度. () 式就是一个微分方程,这里 t是自变量, x是未知函数,是未知函数对 t导数. 现在,我们还不会求解方程() ,但是, 如果考虑 k =0 的情形,即自由落体运动,此时方程() 可化为( ) 将上式对 t积分两次得() 一般说来, 微分方程就是联系自变量、,则称为常微分方程;如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数,并且在方程中出现偏导数,,有时就简称微分方程或方程. 例如下面的方程都是常微分方程() () () () ?在一个常微分方程中,未知函数最高阶导数的阶数,,一阶常微分方程的一般形式可表为() 如果在() 中能将 y′解出,则得到方程() () 或() 称为一阶隐式方程,() 称为一阶显式方程, () 称为微分形式的一阶方程.