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经济数学
Economic mathematics
目 录
函 数
1
极限与连续
2
导数与微分
3
导数的应用
4
积分学及其应用
5
随机变量及其数字特征
数学软件Mathematica应用
随机事件与概率
线性代数初步
8
9
目 录
7
6
第1章 函数
学****目标
理解函数的概念，熟练掌握函数定义域和值域的求法，了解分段函数的特点。
掌握函数的基本性质和表示方法。
熟练掌握六类基本初等函数的概念、表达式、图形和性质． 了解复合函数、初等函数的概念和性质，掌握复合函数的分解方法。
了解常用经济函数的概念及相关运算，会建立简单的函数关系式。
函数的概念
函数的概念
引例1 自由落体运动设物体下落的时间为 t，下落距离为 s，假定开始下落的时刻 t＝0，那么 s 与 t 之间的依赖关系由
给出，其中g为重力加速度．在这个关系中，距离s随着时间t的变化而变化．其特点是，当下落的时间 t 取定一个值时，对应的距离 s 的值也就确定了．
引例2 医师用药医师给儿童用药和成年人不一样，用药量可由儿童的体重来确定．要计算1～12岁的儿童的体重可用经验公式 y＝2x＋7，其中 x 代表年龄（岁），y 代表体重（公斤），年龄确定了，相应的体重也就确定了．
函数的定义
函数的概念
定义1 设x，y是同一变化过程中的两个变量，若当x取其变化范围内任一值时，按照某种对应规则，总能唯一确定变量y的一个值与之对应，则称y是x的函数，记作
y＝f（x）
x 叫做自变量，y 叫做因变量．X 的取值范围叫做函数的定义域，与x的值对应的y的值的集合叫做函数的值域．
当自变量 x 取数值 x0 时，因变量 y 按照对应法则 f 所对应的数值，称为函数 y＝f（x）在点 x0 处的函数值，记作y＝f（x0）。
函数的概念
设 f(x)＝2x2-3，求 f(-1），f（x0）。
解
解
要使分式有意义，必须分母x2+2x-3≠0，即x≠-3且x≠1，所以这个函数的定义域是(－∞，－3)∪(－3，1)∪(1，＋∞)。
求函数定义域时应遵守以下原则：
（1）代数式中分母不能为零；
（2）偶次根式内表达式非负；
（3）基本初等函数要满足各自的定义要求；
（4）对于表示实际问题的解析式，还应保证符合实际意义．
函数的概念
函数的表示
常用的函数表示方法有表格法、图像法、解析法．
(1) 将自变量的值与对应的函数值列成表格以表示函数的方法叫表格法，如三角函数表、对数表及许多的财务报表等．
(2) 用图像来表示自变量值与函数值的关系的方法叫图像法，它的特点是较直观．
(3) 用数学表达式表示自变量和因变量的对应关系的方法叫解析法，如y＝sinX，y＝2x+1等，它的特点是便于推理与演算．
分段函数
引例3 乘座火车时，铁路部门规定：随身携带物品不超过20千克免费，超过20千克部分，，超过50千克部分，再加收50％，应如何计算携带物品所交的费用．
函数的概念
设物品的重量为x，应交费用为y，则有
解
对于分段函数，要注意以下几点：
（1）分段函数是由几个公式合起来表示一个函数，而不是几个函数。
（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集。
（3）在处理问题时，对属于某一段的自变量就应用该段的表达式。
函数的概念
反函数
定义 如果已知y是x的函数，y＝f（x），则由它所确定的以y为自变量，x为因变量的函数x＝φ（y）就是y＝f（x）的反函数，而y＝f（x）称为直接函数．
函数y＝f（x）的定义域和值域分别是其反函数y＝f－1（x）的值域和定义域．
函数y＝f（x）和它的反函数y＝f－1（x）的图像关于直线y＝x对称．
单调函数存在反函数，且函数与其反函数单调性相同．
求函数y＝x2，x∈ ［0，＋ ∞）的反函数．
解 因为函数y＝ x2 在区间［0，＋∞）上单调递增，所以存在反函数．由y＝ x2 解得x＝ √y，y≥0，于是y＝x2 的反函数为y＝ √x，x∈［0，＋ ∞）求反函数的步骤是从y＝f（x）中解出x，得到x＝f－1（y），再将x和y互换即可．