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小波变换原理与应用
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主要内容
小波的基本概念——什么是小波
小波的发展历史——工程到数学
小波的基本类型——多分辨分析
小波的快速算法——Mallat算法
小波包分解算法——精细化处理
小波的工程应用——时频分析与降噪等
小波的结合应用——小波网络等
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小波的基本概念——什么是小波
在当代信息社会，诸多领域都会涉及到信号的分析、加工、识别、传输及储存等问题。长期以来，傅里叶变换一直是处理这方面问题最重要的工具，并且已经发展了一套内容非常丰富并在许多实际问题中行之有效的方法。
但是傅里叶分析的致命弱点是不能做局部分析，只适用于平稳信号的分析。而在实际中，瞬变信号大量存在，人们往往需要的是某一时问内的某一频段的信息。为克服傅里叶分析的不足，出现了小波分析。
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小波的基本概念——什么是小波
小波是什么？
小波可以简单的描述为一种函数，这种函数在有限时间范围内变化，并且平均值为0。这种定性的描述意味着小波具有两种性质:A、具有有限的持续时间和突变的频率和振幅；B、在有限时间范围内平均值为0。
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小波的基本概念——什么是小波
小波的“容许”条件
用一种数学的语言来定义小波，即满足“容许”条件的一种函数，“容许”条件非常重要，它限定了小波变换的可逆性。
小波本身是紧支撑的，即只有小的局部非零定义域，在窗口之外函数为零；本身是振荡的，具有波的性质，并且完全不含有直流趋势成分，即满足
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小波的基本概念——什么是小波
原始小波称为母小波。母小波在时域、频域的
有效延伸范围有限,位置固定。为了分析时域、频域的有效延伸范围与位置不同的信号,小波的时域、频域有效延伸范围与位置应能调节。采用的办法是对母小波进行伸缩、平移,生成以下函数族:
其中a称为伸缩因子，b称为平移因子。
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小波的基本概念——什么是小波
信号的信息表示
时域表示：信号随时间变化的规律，信息包括均值、方差、峰度以及峭陡等，更精细的表示就是概率密度分布（工程上常常采用其分布参数）
频域表示：信号在各个频率上的能量分布，信息为频率和谱值（频谱或功率谱），为了精确恢复原信号，需要加上相位信息（相位谱），典型的工具为FT
时频表示：时间和频率联合表示的一种信号表示方法，信息为瞬时频率、瞬时能量谱
信号处理中，对不同信号要区别对待，以选择哪种或者哪几种信号表示方法
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小波的基本概念——什么是小波
平稳信号
非平稳信号
不满足平稳性条件至少是宽平稳条件的信号
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小波的基本概念——什么是小波
信号的时域表示和频域表示只适用于平稳信号，对于非平稳信号而言，在时间域各种时间统计量会随着时间的变化而变化，失去统计意义；而在频率域，由于非平稳信号频谱结构随时间的变化而变化导致谱值失去意义
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小波的基本概念——什么是小波
时频表示主要目的在于实现对非平稳信号的分析，同样的可以应用于平稳信号的分析
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