1/23
文档分类:高等教育

71 紧致空间.ppt


下载后只包含 1 个 PPT 格式的文档,里面的视频和音频不保证可以播放,查看文件列表

特别说明:文档预览什么样,下载就是什么样。

下载所得到的文件列表
71 紧致空间.ppt
文档介绍:
第7章 紧致性
§7.1紧致空间
本节重点:掌握紧致子集的定义及判断一个子集是紧致子集的方法。(这些方法哪些是充要条件?)
  掌握紧致性是否是连续映射可保留的,是否是可遗传的、有限可积的。
1
1.定义7.1.1 设X是一个拓扑空间.如果X的每一个开覆盖有一个有限子覆盖,则称拓扑空间X是一个紧致空间.
注:每一个紧致空间都是Lindeloff空间.但反之不然.
一、紧致性及其刻画
例如 包含着无限但可数个点的离散空间是一个
Lindelöff空间,但它不是一个紧致空间.
2
定义7.1.2 设X是一个拓扑空间,Y是X中的一个子集, 如果Y作为X的子空间是一个紧致空间,则称Y是拓扑空间X的一个紧致子集.
定理7.1.1 设X是一个拓扑空间,Y是X中的一个子集.则Y是X的一个紧致子集当且仅当每一个由X中的开集构成的Y的覆盖都有有限子覆盖.
3
Y
X
4
因此 有一个有限子覆盖,设为
{          },
证明:必要性 设Y是拓扑空间X中的一个紧致子集,
A是Y的一个覆盖,它由X中的开集构成.
A
则容易验证集族        也是Y的一个覆盖,它由Y中的开集构成.
于是 A 的有限子族      覆盖Y.
5
此时易见A 的子族{    }覆盖Y.这证明Y是X的一个紧致子集.
充分性,假定每一个由X的开集构成的Y的覆盖都有一个有限子覆盖.
则对于每一个A∈A 存在X中的一个开集  使得A=  ∩Y.
设A是Y的一个覆盖,它由Y中的开集构成.
因此      是由X中的开集构成的Y的一个覆盖,所以有一个有限子覆盖,设为{      }
A

继续
6
Y
X
A
UA
7
这是因为如果设A={(-n,n) R | n∈Z+},则A的任何一个有限子族
  {            } ,由于它的并为
  (-max{    },max{    })
所以不是R的一个子覆盖.因此R的开覆盖A没有任何一个有限子覆盖.
例7.1.1 实数空间R不是一个紧致空间.
2.例子
8
例 有限补空间(X,T )为紧致空间.
是一个有限集,所以A 的子族
也是有限的,易见它也覆盖X.
因此,包含着有限补空间是紧致空间。
证:设A是它的一个开覆盖.任意在A 中取定一个非空集合A.(不妨设A≠Φ、X),则X-A为有限集,记为
对于每一个 在A中选取一个
9
例 平庸空间(X,T )为紧致空间.
例 设(X,T )为离散空间,
则X为紧致的
包含着无限但可数个点的离散空间是一个
Lindelöff空间,但它不是一个紧致空间.
10
内容来自淘豆网www.taodocs.com转载请标明出处.