同济第五版(高等数学课后习题答案).pdf

****题 1 ? 1 1. 设 A ?( ??, ? 5) ?(5, ??), B ?[ ?10, 3), 写出 A ? B , A ? B , A \ B 及 A \( A \ B )的表达式. 解 A ? B ?( ??, 3) ?(5, ??), A ? B ?[ ?10, ? 5), A \ B ?( ??, ? 10) ?(5, ??), A \( A \ B ) ?[ ?10, ?5). 2. 设 A 、 B 是任意两个集合, 证明对偶律: ( A ? B ) C ? A C ? B C . 证明因为 x ?( A ? B ) C ? x ? A ? B ? x ? A 或 x ? B ? x ? A C 或 x ? B C ? x ? A C ? B C , 所以 ( A ? B ) C ? A C ? B C . 3. 设映射 f : X ? Y , A ? X , B ? X . 证明 (1) f ( A ? B ) ? f ( A ) ? f ( B ); (2) f ( A ? B ) ? f ( A ) ? f ( B ). 证明因为 y ? f ( A ? B ) ?? x ? A ? B ?使 f ( x ) ? y ?( 因为 x ? A 或 x ? B ) y ? f ( A ) 或 y ? f ( B ) ? y ? f ( A ) ? f ( B ), 所以 f ( A ? B ) ? f ( A ) ? f ( B ). (2) 因为 y ? f ( A ? B ) ?? x ? A ? B ?使 f ( x ) ? y ?( 因为 x ? A 且 x ? B ) y ? f ( A ) 且 y ? f ( B ) ? y ? f ( A ) ? f ( B ), 所以 f ( A ? B ) ? f ( A ) ? f ( B ). 4. 设映射 f : X ? Y , 若存在一个映射 g : Y ? X , 使 XIfg ??, YIgf ??, 其中 I X 、 I Y 分别是 X 、 Y 上的恒等映射, 即对于每一个 x ? X , 有 I X x ? x ; 对于每一个 y ? Y , 有 I Y y ? y . 证明: f是双射, 且 g 是 f的逆映射: g ? f ? 1 . 证明因为对于任意的 y ? Y , 有 x ? g ( y ) ? X , 且 f ( x ) ? f [ g ( y )] ? I y y ? y , 即 Y中任意元素都是 X 中某元素的像, 所以 f 为 X 到 Y的满射. 又因为对于任意的 x 1 ? x 2 , 必有 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ), 否则若 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? g [ f ( x 1 )] ? g ? f ( x 2 )] ? x 1 ? x 2 . 因此 f既是单射, 又是满射, 即 f是双射. 对于映射 g : Y ? X , 因为对每个 y ? Y , 有 g ( y ) ? x ? X , 且满足 f ( x ) ? f [ g ( y )] ? I y y ? y , 按逆映射的定义, g 是 f 的逆映射. 5. 设映射 f : X ? Y , A ? X . 证明: (1) f ? 1 ( f ( A )) ? A ; (2) 当 f 是单射时, 有 f ? 1 ( f ( A )) ? A . 证明 (1) 因为 x ? A ? f ( x ) ? y ? f ( A ) ? f ? 1 ( y ) ? x ? f ? 1 ( f ( A )), 所以 f ? 1 ( f ( A )) ? A . (2) 由(1) 知 f ? 1 ( f ( A )) ? A . 另一方面, 对于任意的 x ? f ? 1 ( f ( A )) ?存在 y ? f ( A ), 使 f ? 1 ( y ) ? x ? f ( x ) ? y . 因为 y ? f ( A ) 且 f 是单射, 所以 x ? A . 这就证明了 f ? 1 ( f ( A )) ? A . 因此 f ? 1 ( f ( A )) ? A . 6. 求下列函数的自然定义域? (1) 23??xy ; 解由 3 x ? 2 ? 0 得 3 2?? x