5.3振动能量与共振.doc

§ 振动能量与共振
5. 3．1、简谐振动中的能量
以水平弹簧振子为例，弹簧振子的能量由振子的动能和弹簧的弹性势能构成，在振动过程中，振子的瞬时动能为：
振子的瞬时弹性势能为：
振子的总能量为：
图5-3-1
简谐振动中，回复力与离开平衡位置的位移x的比值k以及振幅A都是恒量，即是恒量，因此振动过程中，系统的机械能守恒。
如以竖直弹簧振子为例，那么弹簧振子的能量由振子的动能、重力势能和弹簧的弹性势能构成，尽管振动过程中，系统的机械能守恒，但能量的研究仍比拟复杂。由于此时回复力是由弹簧的弹力和重力共同提供的，而且是线性力〔如图5-3-1〕，因此，回复力做的功〔图中阴影局部的面积〕也就是系统瞬时弹性势能和重力势能之和，所以类比水平弹簧振子瞬时弹性势能表达式，式中x应指振子离开平衡位置的位移，那么就是弹性势能和重力势能之和，不必分开研究。
简谐振动的能量还为我们提供了求振子频率的另一种方法，这种方法不涉及振子所受的力，在力不易求得时较为方便，将势能写成位移的函数，即，。
另有
也可用总能量和振幅表示为
5．3．2、阻尼振动
图5-3-2
简谐振动过程的机械能是守恒的，这类振动一旦开始，就永不停止，是一种理想状态。实际上由于摩擦等阻力不可完全防止，在没有外来动力的条件下，振动总会逐渐减弱以致最后停息。这种振幅逐渐减小的振动，称为阻尼振动。阻尼振动不是谐振动。
①振动模型与运动规律
如图5-3-2所示，为考虑阻尼影响的振动模型，c为阻尼器，粘性阻尼时，阻力R=-cv，设m运动在任一x位置，由有
分为 〔17〕
图5-3-3
1cm
x
图5-3-4
式中
这里参考图方法不再适用，当 C 较小时，用微分方程可求出振体的运动规律，如图4-22所示。
②阻尼对振动的影响
由图5-3-3可见，阻尼使振幅逐渐衰减，直至为零。同时也伴随着振动系统的机械能逐渐衰减为零。
此外，愈大，即阻尼愈大，振幅衰减愈快。而增大质量m可使n减小。所以，为了减小阻尼，单摆的重球及弹簧振子往往选用重球。
③常量阻力下的振动
例1、如图5-3-4所示，倔强系数为250g/cm的弹簧一端固定，另端连结一质量为30g的物块，置于水平面上，摩擦系数，现将弹簧拉长1cm后静止释放。试求：〔1〕物块获得的最大速度；〔2〕物块经过弹簧原长位置几次后才停止运动。
解：振体在运动中所受摩擦阻力是与速度方向相反的常量力，并不断耗散系统的机械能，故不能像重力作用下那样，化为谐振动处理。
〔1〕设首次回程中，物块运动至弹簧拉力等于摩擦力的x位置时，达最大速度。
由 ，
再由能量守恒：
代入数据得
〔2〕设物体第一次回程中，弹簧的最大压缩量为，那么
再设物体第一次返回中，弹簧的最大拉伸量为，那么
可见振体每经过一次弹簧原长位置，振幅减小是相同的，且均为
而
故物体经过16次弹簧原长位置后，停止在该处右方。
5．3．3 受迫振动——在