第四章多目标规划.ppt

本书大部分章节讨论的基本上都是单目标优化问题，实际上，许多实际问题的优化牵涉的目标往往不止一个，如设计一个工厂的施工方案，就要考虑工期、成本、质量、污染等目标,再如找工作,购买家用电器,追求的目标往往都不止一个。由于这类问题需同时考虑多个目标，而有些目标之间又相互矛盾，从而使决策问题变得复杂, 这类决策问题称为多目标决策问题。
多目标决策方法是现代管理科学的重要内容，也是系统分析的基本工具。按照决策变量是连续的还是离散的，多目标决策可以分为多目标规划决策(Multiple Objective Decision Making)和多准则决策(Multiple Attribute Decision Making)两大类，前者是以数学规划的形式呈现的决策问题，后者则是已知各个方案及它产生的结局向量，由此选择最优方案的决策。
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多目标决策主要指多目标最优化，即多目标规划。对于某些问题，可以先用多目标规划选出几个备选方案，然后再用多准则决策方法作进一步处理，因此，这两者既有区别又有联系。
多目标最优化的思想萌芽于1776年经济学中的效用理论。1896年，法国经济学家V·Pareto首先在经济理论的研究中提出了多目标最优化问题。1951年，美国数理经济学家T·C·Koopans从生产和分配的活动分析中考虑了多目标决策问题，并首次提出了多目标最优化问题解的概念，将其命名为“Pareto解”(即有效解)。同年，H·W·Kuhn和 A·W·Tucker从数学规划论角度首次提出向量极值问题及有关概念。进入20世纪70年代，随着第一次国际多目标决策研讨会的召开及这方面专著的问世，多目标决策问题的研究工作迅速、蓬勃地开展起来，到目前为止，已取得若干有价值的研究成果。
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第一节 多目标规划模型
线性规划及非线性规划研究的都是在给定的约束集合
R={X|gi(X) ≥0，i=1，2，……，m)} X∈En
上，求单目标f(x)的最大或最小的问题，即方案的好坏是以一个目标去衡量。然而，在很多实际问题中，衡量一个方案的好坏往往难以用一个指标来判断 。也就是说，需要用一个以上的目标去判断方案的好坏，而这些目标之间又往往不是那么协调，甚至是相互矛盾的。本章将以实例归结出几类常见的描述多目标最优化问题的数学模型。
第四章 多目标规划
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一. 一般多目标规划模型
例1：【喜糖问题】设市场上有甲级糖及乙级糖，单价分别 为4元/斤及2元/斤。今要筹办一桩喜事。“筹备小组”计划总花费不超过40元，糖的总斤数不少于10斤，甲级糖不少于5斤。问如何确定最佳的采购方案。
我们先确定此问题应满足的条件（即约束条件）。不难看出，当甲级糖数量为x1，乙级糖数量为x2时，有：
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在研究以什么为“最佳”的衡量标准时，“筹备小组”的成员们意见可能会发生分歧，其原因是他们会提出各种各样的目标来。
如果要求总花费最小，即要求：
f1(x1,x2)=4x1+2x2 →min
如果要求糖的总数量最大，即要求：
如果要求甲级糖的数量最大，即要求：
易见，这是具有3个目标的规划问题（由于约束及目标均为线性函数，故它为多目标线性规划问题）。
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例2：【投资决策问题】某投资开发公司拥有总资金A万元，今有n(≥2)个项目可供选择。设投资第i(i=1，2，……，n)个项目要用资金ai万元，预计可得到收益bi万元。问应如何使用总资金A万元，才能得到最佳的经济效益？
xi=0或1
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所谓“最佳的经济效益”，如果理解为“少花钱多办事”，则变为两个目标的问题，即投资最少，收益最大：
这是具有两个目标的0－1规划问题。
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例3：【木梁设计问题】把横截面为圆形的树干加工成矩形横截面的木梁。为使木梁满足一定的规格和应力及强度条件，要求木梁的高度不超过H，横截面的惯性矩不少于给定值W，且横截面的高度要介于其宽度和4倍宽度之间。
问应如何确定木梁尺寸，可使木
梁的重量最轻，并且成本最低。
设所设计的木梁横截面的
高为x1 ，宽为x2（图1）。
为使具有一定长度的木梁重量最轻，应要求其横截面面积x1x2为最小，即要求x1x2→min
x1
x2
图1
r
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由于矩形横截面的木梁是由横截面为圆形的树干加工而成的，故其成本与树干横截面面积的大小
成正比。由此，为使木梁的成本最低还应要求