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两个基本计数原理
高二 数学备课组
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世界杯足球赛共有32个队参赛．它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强，这16个队按确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外还决出了第三、第四名．问一共安排了多少场比赛？前4名有多少不同的结果？
实际问题
要回答这个问题，就要用到排列、组合的知识．在运用排列、组合方法时，经常要用到分类计数原理与分步计数原理．
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问题1：从甲地到乙地，有3条公路，2条铁路，某人要从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？
问题2：从甲地到乙地，有3条道路，从乙地到丙地有2条道路，那么从甲地经乙地到丙地共有多少种不同的走法 ？
你能说出这两个问
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问题1：从甲地到乙地，有3条公路，2条铁路，某人要从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？
因为每一种走法都能完成从甲地到乙地这件事，有3条公路，2条铁路，所以共有：
3＋2＝5 （种）
甲地
乙地
公路1
公路2
公路3
铁路1
铁路2
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一、分类计数原理
完成一件事，有n类办法.
在第1类办法中有m1种不同的方法，
在第2类方法中有m2种不同的方法，……，
在第n类方法中有mn种不同的方法，
则完成这件事共有 :
2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数.
1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原理又称加法原理
说明
N= m1+m2+… + mn 种不同的方法
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问题2：从甲地到乙地，有3条道路，从乙地到丙地有2条道路，那么从甲地经乙地到丙地共有多少种不同的走法 ？
这个问题与前一个问题不同．在这个问题中，必须经过先从甲地到乙地、再从乙地到丙地两个步骤，才能从甲地到丙地．
因为从甲地到乙地有3种走法，从乙地到丙地有2种走法，所以从甲地到丙地，共有不同的走法：
3×2＝6 （种）．
甲地
乙地
丙地
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二、分步计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤。
做第1步有m1种不同的方法，
做第2步有m2种不同的方法， ……，
做第n步有mn种不同的方法，
则完成这件事共有
2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，然后对每步方法计数.
1）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数,又称乘法原理
说明
N= m1×m2×… ×mn种不同的方法
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例1.
书架第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.
(1)从书架中取1本书,有多少种不同取法?
有3类方法,根据分类加法计数原理
N=4+3+2=9
(2)从书架第1,2,3层各取1本书,有多少种不同取法?
分3步完成,根据分步乘法计数原理
N=4×3×2=24
解题关键：从总体上看做这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”.再根据其对应的计数原理计算.
学案P46-1
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练****br/>要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问共有多少种不同的挂法?
分两步完成
左边
右边
甲
乙
丙
乙
丙
甲
丙
甲
乙
3
2
第一步
第二步
×
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学案P46-2
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