11 线性空间.ppt

理学院
矩阵论教学团队
Department of Mathematics, College of Sciences
书后要求的****题,主动自觉做,抽查和不定时收取
使用教材
《 矩阵论教程》国防工业出版社 2012
其他辅导类参考书（自选）
课 程 要 求
作业要求
矩阵论网站
授课预计
(8学时)
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第一章 线性空间与线性映射
线 性 空 间
线 性 子 空 间
线性映射与线性变换
线性变换的不变子空间
5
线性空间的同构
教 学 内 容 和 基 本 要 求
2, 掌握子空间与维数定理，理解子空间的相关性质；
3, 理解线性映射及线性变换的概念，掌握线性映射及变
换 的矩阵表示。掌握线性映射的值域、核等概念 .
重点: 线性空间的概念；子空间的维数定理；线性映射
及线性变换;不变子空间
难点: 基变换与坐标变换;不变子空间
4, 理解线性变换的不变子空间得相关概念和性质
1，理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变换的公式；
线性空间是解析几何和线性代数中向量概念的抽象化。
本章将给出线性映射和线性变换的概念与性质，同时也建立了矩阵和线性映射及线性变换之间的一种关系
线性空间既是代数学的基本概念，也是矩阵论的基本概念之一，本章首先介绍这一概念。学****过这一部分内容的同学可以将本章作为对所学知识的回顾和延伸。
常见数域： 复数域 C ；实数域 R ；有理数域 Q ；
设F是至少包含两个数的数集，如果F 中
F中的数，则称F为一个数域．
任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是
定义1
（注意：自然数集N及整数集Z都不是数域．）
线 性 空 间
§
线性空间的概念与性质
说明：
1）若数集F中任意两个数作某一运算的结果仍在F
中，则说数集F对这个运算是封闭的．
2）数域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数
集F 对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0）
是封闭的，则称集 F为一个数域．
定义2 设 是一个非空集合， 为一数域．在V上定义运算如下：
ⅰ) 对任意　 ，总有唯一的元素 与之
对应，称为 与 的和，记作
ⅱ ) 对任意的 与任意的 ，总有唯一的
元素 与之对应，称为 与 的积，记作
则称集合V对这两种运算是封闭的。
定义3 设数域 上的集合 对于如上“+”和
“ ”两种运算是封闭的，且满足如下八条：
(3) V 中存在 元素，使得对
有
(4) 对 ，有 的负元素
对
则称 为数域 上的线性空间．记为:
（1）一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的
实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性．
例2 实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法
和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 ．
一般线性空间的判定方法