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线 性 空 间 引 论
Department of Mathematics, College of Sciences
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线 性 空 间 与 线 性 映 射
第 一 章
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定理1：设W为n维线性空间V的任一子空间，
是W的一组基，则有
定理2
1） ； 为线性空间V 中的两组向量，则
与 等价．
2）生成子空间 的维数
＝向量组 的秩．
一,子空间的相关定理
§ 线性子空间的相关理论
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证：1）若
则对
有　 ，
从而　 可被
线性表出；
同理每一个　　　也可被　　　　　 线性表出.
所以，
与 等价．
， 可被 　线性表出，
从而可被 线性表出，即
反之，
与 等价．
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同理可得，
故，
2）设向量组
的秩＝t，不妨设
为它的一个极大无关组．
则有
与 等价，
就是 的一组基，
所以， 的维数＝t．
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无关组，则
推论：设　　　　　　是线性空间V 中不全为零
的一组向量，　　　　　　　　　是它的一个极大
设 ，称：
定理3：
（1） 为 的值域；
（2） 为 的核空间；
则 是 的子空间，
是 的字空间。
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设 ，则
定理4
（1）
（2）
（3）
（3）若 为 的特征值，则：
为 的子空间，称 为
的对应于特征值 的特征子空间。
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证明（1）
（2）由 ，再由定理知
（3）由于 是方程组 的解空间，所以
所以,由(2)
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基扩充定理
为 V 的一组基．即在 V 中必定可找到 n－m 个向量
设W为 n 维线性空间 V 的一个 m 维子空间，
定理5
为W的一组基，则这组向量必定可扩充
，使 为 V 的一组基．
定理成立．
证明：对n－m作数学归纳法．
当 n－m＝0时，即　n＝m，
就是V的一组基.
假设当n－m＝k时结论成立.
下面我们考虑 n－m＝k＋1 的情形．
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必定是线性无关的．
既然　　　　　 还不是V的一组基，它又是线性无关的，那么在V中必定有一个向量　　 不能被
线性表出，把它添加进去，则
因 n－(m＋1)＝(n－m)－1＝(k＋1)－1＝k，
由定理， 子空间 　　　　　　 是m＋1维的．
可以扩充为整个空间V的一组基．由归纳原理得证.
由归纳假设， 的基
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