四川赛区高中数学联赛初赛试题及答案.doc

２010年高中数学联赛四川赛区初赛试题详细参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共8个小题,每小题5分，共40分）
1、已知条件: 和条件 ：。则是的（ 　C　　）。
Ａ、充分但不必要条件 　 　　　 　 B、必要但不充分条件　
C、充要条件　　 　 　　 　D、既不充分也不必要条件
解：因为，
．
2、在５件产品中有４件正品、1件次品。从中任取2件，记其中含正品的个数个数为随机变量，则的数学期望是( C ).
Ａ、　 　　 　Ｂ、　　 C、 　 D、
解：数学期望是：.故选Ｃ．
3、设正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2,则侧棱与底面所成的角的大小是（　　Ａ 　）
　A、　　 B、　　 　 C、　 　 D、
解：设顶点在底面的射影是,则为的外心．
从而,于是可得．故选Ａ。
4、已知函数的最小值是０，则非零实数的值是（　 Ｂ 　 ）．
Ａ、 　B、 　 　 　 Ｃ、2　　 　 　 　Ｄ、4
解:,　 　　 　 　 　 　　　　
因为，故 　　　 　 　 　 　 　 　　
当时，，不合题意;
当时，， 　 　 　
由条件知，解得或0(舍去)．故选Ｂ。　
5、长方体的八个顶点都在球的球面上，其中，，，则经过两点的球面距离是（ 　　Ｃ )
A、 　　B、　　　 　 C、　 　Ｄ、
解：球的半径，在中,，则，从而．
所以,经过两点的球面距离是。故选Ｃ．
6、对任意实数,过函数图象上的点的切线恒过一定点,则点的坐标为（　 Ｂ ）
A、　　　　 　　B、 C、 　 D、
解:因为,故。
于是过的切线方程是:
即,因此切线方程恒过．故选B．
7、设Ａ1、Ａ2为椭圆的左右顶点,若在椭圆上存在异于A1、Ａ2的
点，使得，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率的取值范围是( Ｄ )
　A、 　Ｂ、　 C、　　　 D、
解：由题设知∠OPＡ2＝90°,设P（x,y）（x〉０）,以OＡ2为直径的圆方程为，
与椭圆方程联立得。由题设知，要求此方程在(0， ａ )上有实根.
由此得化简得,所以e的取值范围为。故选D。
8、记，则的最小值是(　 　 　　 ）
、 　　 　 B、　 　 　　C、 　 　　D、4
解:设动点与，则，点的轨迹为直线，点的轨迹为双曲线，双曲线上的任一点到直线的距离
，．故选C。
ﻩ
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分,共20分)
1、是定义在上的奇函数,且,则　　　 。
解:由条件知,，于是,
即是以2为周期的周期函数．所以,。故填0.
2、实数满足,则的最大值是　 　　 。
解:由确定的图形是以四边形及其内部，
其中、、、。
由线性规划知识知，的最大值是4，当时可取到。故填4．
３、在数列中,，当时，成等比数列,则 　 　 　 ．
解:由条件知当时,
　 从而，于是 ,所以。
于是
　　　所以,。故填.
4、