有限元分析第一章.doc

有限元分析第一章.doc第一章引言
§1-1概述
1、有限兀方法（The Finite Element Method, FEM）是计算机问世以后迅速发展起来的 一种分析方法。众所周知，每一种自然现象的背后都有相应的物理规律，对物理规律的描述 可以借助相关的定理或定律表现为各种形式的方程（代数、微分、或积分）。这些方程通常 称为控制方程（Governing equation）。针对实际的工程问题推导这些方程并不十分困难，然 而，要获得问题的解析的数学解却很困难。人们多采用数值方法给出近似的满足工程精度要 求的解答。有限兀方法就是一种应用十分广泛的数值分析方法。
图1-1工程问题的求解思路
有限兀方法是处理连续介质问题的一种普遍方法，离散化是有限元方法的基础。然而， 这种思想自古有之。齐诺（Zeno公兀前5世纪前后古希腊埃利亚学派哲学家）曾说过：空 间是有限的和无限可分的。故，事物要存在必有人小。亚里丄多德（Aristotle古希腊人哲学 家，科学家）也讲过：连续体由可分的元素组成。古代人们在计算圆的周长或面积时就采用了 离散化的逼近方法：即采用內接多边形和外切多边形从两个不同的方向近似描述圆的周长或 面积，当多边形的边数逐步增加时近似值将从这两个方向逼近真解。图1 — 2可以用来表示 这一过程。
图1-2离散逼近
近代，这一方法首先在航空结构分析中取得了明显的效果：一种称为框架分析法 （framework method）被用来分析平面弹性体（将平面弹性体描述为杆和梁的组合体）（1941, Hrenikoff）；，分片连续函数被 用来在子域中近似描述未知函数（1943, Courantk此后，本方法在固体力学、温度场和温 升应力、流体力学、流固耦合（水弹性）问题，以及航空、航天、建筑、水工、机械、核工 程和生物医学等方面获得了广泛的应用。从而，促成了一个內容十分丰富的新兴分支—— 计算力学的出现，长期以来在力学中存在的求解手段落后于基本理论的现象得到了根本的扭 转。由于拥有了强有力的分析手段，相比之下对物质世界本身（例如本构关系）的了解反而 出现了一些新的薄弱环节。有限元方法的第二个关键时期出现于二十世纪六十年代中期，归 功于 Argyris,和 Kelsey（1960）以及 Turner, Clough, Martin 和 Topp （1956）。然而，"有限单元" 是由Clough首次提出的（1960）o在众多数学家的共同努力下，有限元方法的基本原理被揭 示以后，这种方法摆脱了各种各样的工程背景而成为一种具有普遍意义的数学方法。这样就 不仅极人地扩展了该方法的应用范围，而且拓宽了人们的思路，在构造方法时人们不再受工 程直觉的束缚。
2、众所周知，一个连续体有无限多个自由度（属于无限维空间），有限元方法则是将 它转化成一个有限自由度（属于有限维空间），建立有限元方程，求其近似解。可以将有限 元法理解为在子域内应用的瑞利一里兹法（Rayleigh—Ritz Method在传统的瑞利一里兹 法中，必须假定近似的位移函数和其各阶导数在整个求解区域内有良好连续性。然而，实际 的工程结构往往比较复杂。例如，变压器的箱体可以看成是由板和梁的组合结构；管道系统 中的阀门、接头和三通表现为集中质量。在数学的描述上，这些实际情况表现为间断点，在 这些部位函数的导数（及应变）是不连续的。因此，瑞利一里兹法的工程应用受到了限制。 另外，对于二维及三维的工程结构，如果其几何边界不规则，要寻找满足边界条件的连续 的近似位移函数是极其困难的。在有限元方法屮，由于利用了分片插值技术，连续体（区域） 的形状可以不受任何限制。而这一难题正是以前其他分析方法所难以克服的。图1-3给岀了 有限兀法与传统的有限差分法在描述同一对象时的比较。
有限差分法
有限单兀法
图1-3有限兀法与有限差分法比较
建立有限兀方程人休有三类方法：
（1）直接方法
这种方法是直接从结构力学引伸过来的，作为一种建立有限元方程的方法而言，只在简 单情况下才能凑效。这种方法的优点在于简单、易于理解，一些基本概念和作法的物理意义 清晰，对理解有限元方法的相关概念和具体作法十分有益。
（2 ）变分方法
这种方法是讨论有限元方法时最常用的一种形式。有限元方法最早的严格理论论证就是 以这种形式给出的。变分方法主要用于线性问题，该方法要求被分析的问题存在一个“能量 泛函”，由泛函取驻值建立有限元方程。对于线性弹性问题就表现为最小势能原理、最小余 能原理或其他形式的广义变分原理。对于某些非线性问题（弹塑性问题）的虚功方程也可归 于这一类。本书主要利用这种形式。
（3 ）加权残值法
对于线性自共轨形式方程，加权残值法