一维波动方程.ppt

《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
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《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
§2 一维波动方程
. 齐次波动方程的Cauchy问题和特征线法
最简单的一维齐次双曲型方程是关于无界弦的自由振动问题, 在忽略其边界的影响时，它可归结为如下的定解问题
()

满足初始条件
()

其中 是一个正常数，函数 是定义在区间 上的已知函数.
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特征线法是求解一维双曲型方程Cauchy问题最基本的方法，这个方法的实质是将方程沿特征线积分. 由第三章的特征概念知, 方程()的特征方程是
由此求得特征曲线为
其中 为任意常数.
为了将方程()化成第一标准型, 引入自变量变换
即把特征线当作坐标线，则方程()变成
()
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改写()为
可以看出 不依赖于 变量, 于是有

其中 是 的任意连续可微函数, 再对 积分, 得到

若令 ,可得 其中 和 都是任意的二阶连续可微函数. 回到原来的变量 和 , 于是波动方程() 的通解为
()
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现在我们利用初始条件()来确定任意函数 和 , 由等式()有


对等式()积分, 得出

其中是 任意常数. 由等式()和()解出和为

代入(),我们得到

这个公式称为Cauchy问题的达朗贝尔(D’Alembert)公式.
()
()
()
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到目前为止, 表达式()还只能说是Cauchy问题(), ()的形式解. 为了使它确实是Cauchy问题(), () 的解, 我们需要对初值 加上一定的条件.
若 , 则由D’Alembert公式()表示的函数 是Cauchy问题(), ()解.
证明留作****题，请读者自己完成.
下面我们讨论Cauchy问题(), ()解的稳定性.