由此及彼，探索规律.doc

由此及彼，探索规律.doc由此及彼，探索规律
“规律”往往体现为事物之间的联系，这种联系相对于探索者主体 来说具有客观性，因此探索规律的核心环节是“观察”，通过观察发现这 样的联系。观察的过程必然伴随着思考，怎样的思考方式有助于规律的发 现？这是一个值得研究的问题。
一、什么是“由此及彼”
所谓“由此及彼”指的是在观察活动中，不仅关注单个或者同类事物 及其属性本身，而且关注多个或者不同类型事物及其属性之间的关系。从 一个或者一类事物及其属性联想到另一个或者另一类事物及其属性。这种 思考方式在逻辑学中也叫作“类比推理（Analogy）”。
比如对于除法“商不变”规律的学****就可以采用“由此及彼”的思 考方法，通过与加法、减法和乘法类似规律的类比，联想出除法的这一规 律。首先观察一组加法算式：
9+3=12； 8+4=12； 7+5=12；……
归纳出加法运算具有“和不变”的规律，即“一个加数增加多少，另 一个加数就减少多少，那么它们的和不变”。接下来观察一组减法算式：
60-12=4& 55-7=48； 72-24=4& ……
总结岀减法运算的“差不变”规律，即“被减数与减数同时增加或者 减少相同的数，那么它们的差不变”。再来观察乘法算式:
2X36=72； 4X18=72； 8X9=72； ……
得到乘法运算具有“积不变”的规律，即“一个因数扩大的倍数与另 一个因数缩小的倍数如果相等，那么它们的积不变”。
在此基础上，自然而然的想法就是“除法有没有类似的规律呢”。这 样的思考方式就属于“由此及彼”，也可以叫作类比推理。
按照通常的理解，学****数学的理解方式(Mathe
matical Understanding)有两种类型：第一种是追求"会做"，叫作 "工具性理解(Instrumental Understanding)"。这种理解方式的学****主 要依赖于“模仿”和“练****第二种理解方式叫作“关联性理解(Relational Understanding)[1]这种理解方式的学****过程相对复杂。运用"由此及 彼”的观察与思考自然有易于数学学****的关联性理解。下面以平行四边形 和梯形面积的学****进一步说明由此及彼探索规律的过程。
二、平行四边形面积
平行四边形面积公式反映的是，一个平行四边形面积与其底边长度和 高的长度之间的关系，是以长方形面积以及平行四边形与长方形关系的认 识为基础的。“面积”在数学中属于“连续量”，数学家研究连续量往往需 要从更加直观的“离散量”入手。为此可以先来观察图1和图2中篮球的 两种摆放方式。
图1篮球摆放长方形图案图2篮球摆放平行四边形图案
图1是将15个篮球摆放成长方形形状，图2是将同样的15个篮球摆 放成平行四边形形状。可以先来思考讨论“为什么摆放形状不同，而篮球 个数是一样的呢”。针对这个问题可以有两种不同类型的回答。第一种是 孤立、静止地看两个图形，具有一个共同特征，就是“每一行都是5个篮 球，一共有3行”，因此篮球个数相等，都是15个。另一种是用联系与变 化的眼光看两个图形，认为这两个图形是可以通过某种方式相互转化的。
比如将图1阴影处的3个篮球取出，安放到右侧的相应位置，图1就变为 了图2。还可以认为图1第二行整体向右平移1格，第三行整体向右平移 2格，同样图1就变为了图2。这两个过程反过来就是将图2转