平方差公式与完全平方公式试题含答案112.doc

乘法公式的复****br/>一、复****br/>（ａ+b）(a－b）=a2-ｂ2 (a+b）2=ａ２＋2aｂ+ｂ2 　 (a-b）2＝a2—２ａb+b2
(a＋b）（ａ2—ａｂ＋ｂ2)=ａ３+ｂ3 　 (a-b)（a２+ab+b２)＝ａ３—ｂ3
归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式:
① 位置变化,(x+ｙ)(-y+x)=x2-y２
② 符号变化，(-x+y)(-x-ｙ)=(-ｘ)2-y２=　ｘ2-y2
③ 指数变化,(ｘ2+y2)(x2-ｙ2)=x４-ｙ４
④ 系数变化，(２a+b)(2ａ-b)=４a2-b2
⑤ 换式变化,[xy+(z+m)][xy-(ｚ+m)]
=(xy)２-(z+ｍ)2
=ｘ２y2-(ｚ+ｍ)(z+m)
=x2y２-(z２+zm+zｍ+ｍ２)
=x2y２-ｚ２-２ｚm-m２
⑥　增项变化,(x-y+z)(x-ｙ-z)
=(x-y)２-ｚ2
=(ｘ-ｙ)(ｘ-ｙ)-z2
=x2-ｘy-xy+y2-z2
=x2-2xｙ+y2-z2
⑦　连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)
=(x2-y2)(x2+ｙ２)
=x4-y4
⑧ 逆用公式变化，(x-y+z)２-(x+y-z)2
　 　 　 　　 　 =[(x-y+z)+(ｘ+y-z)][(ｘ-y+ｚ)-(x+ｙ-ｚ
)]
　 　 　 　 =2ｘ(-2ｙ+２z)
　　 　　 　 　　 　 　　 　=-4ｘy+4xｚ
，，求的值。
解：∵ ∴=
∵, 　　 　∴=
例2。已知,,求的值.
解：∵ 　　
∴ 　 ∴= ﻩ
∵， 　 ∴
例３:计算199９２－2000×1９９8
〖解析〗此题中２000=1９9９＋1，１99８=１９9９-1,正好符合平方差公式。
解：１9992-2０0０×1998 　＝1999２－（199９+１)×（199９－1)
　 　 　 　　　 　 　 　=19992－（19992—１2）=１9992－1９９9２+1　=1
例4：已知a+ｂ=2,ab=1,求a２+ｂ２和(a—b)2的值.
〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。
解：a２＋b2=(a+ｂ）2－２ab=4－2＝2
(ａ－ｂ）2=(a＋ｂ)２—4ａb=4—4=0
例5:已知x-y＝2，ｙ—ｚ＝2，x＋ｚ=１４。求ｘ2—z2的值.
〖解析〗此题若想根据现有条件求出ｘ、y、z的值，比较麻烦,考虑到x２-z2是由x+ｚ和x-ｚ的积得来的，所以只要求出x-ｚ的值即可。
解:因为x—ｙ＝2,y－z=2，将两式相加得x-z＝４,所以x２-z２＝（x+z)（x—z)＝14×4＝5６.
例６：判断（２＋1)（22+1)（24+1）……(22０４８＋1）＋1的个位数字是几？
〖解析〗此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案，=（２-1）和上式可构成循环平方差。
解：（２＋1）（２2＋１）(２4+1)……（22０４8+1）+1
　　　=（２-１)（2２＋1)（２4+１)……(22048+1）+1
　=240９6
　　=１6１0２4
因为当一个数的个位数字是6的时候,这个数的任意正整数幂的个位数字都是6，所以上式的个位数字必为６。
例７．运用公式简便计算
(1)１032 　　 　　 （2）1９８2
解：（１）１０3２=(10０+3)2 　=１002+２´1００´３+3２ =1０00０+600+９ =１０６09
　　 　　 (2）１９82=(20０-２)2 　=２00２-2´２００´２+2２　=４000０-80０+4 =３9２０4
例8。计算
(1）(a+4b-３c)(ａ-4b-３c) 　 (２)(３x+ｙ-2)(３ｘ-y+２)
解:（１）原式=[(ａ-3ｃ)+4b][(a-３c)-4b]=(ａ-3c)2-(4b)2=a2-6ａc+９c２-1６b２
　 　（２）原式=[３ｘ+(y-2)][3x-(y-2)]=９x2-(　ｙ2-4y+4)=9x２-ｙ
2+4y-４
例９．解下列各式
(1)已知a2+b2=１3，ab=6,求(a+b)2,(a-b)2的值。
（2）已知(ａ+b)2=7，(a-b)２=４,求ａ2+b２,ａb的值。
（3）已知ａ(ａ-1)-(ａ2-b)=２，求的值.
（４）已知,求的值.
分析：在公式(a+b)２=ａ2+ｂ2+２ａb中，如果把a+b，a2+ｂ2和ａｂ分别看作是一个整体，则公式中有三个未知数，知道了两个就可以求出第三个。
解：（1）∵a2+