平面解析几何圆方程.docx

平面解析几何—－圆的方程
圆的定义与方程
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
方程
标准
（ｘ—a)2+（ｙ—b)２=r2(r>0）
圆心(a，b)
半径为r
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey+F=０
充要条件：D2+E2-４Ｆ〉０
圆心坐标:(-,—)
半径r=
【知识拓展】
1。确定圆的方程的方法和步骤
确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为
(1）根据题意，选择标准方程或一般方程;
（2）根据条件列出关于a，ｂ,ｒ或D、E、F的方程组;
(3）解出a、ｂ、ｒ或D、E、F代入标准方程或一般方程.

点和圆的位置关系有三种。
圆的标准方程（x-a)２+(ｙ—ｂ）２＝ｒ2，点M（x0，y０）
(1）点在圆上:（ｘ0—a）2+（ｙ0—b)２=ｒ2；
（2）点在圆外:(ｘ0—a）２＋(y0—b）2〉r2；
（3)点在圆内:(x0－a)2+（ｙ０－ｂ)2〈r２.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确（请在括号中打“√＂或“×”）
(1）确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ ）
(２)已知点A(x１，ｙ1）,B（x2，ｙ2),则以AＢ为直径的圆的方程是（x—ｘ1）(ｘ－ｘ2）＋(y—y１）（y—y2)=０.（ √ ）
（3)方程Ａｘ２+Bｘy+Ｃｙ2+Dx＋Ey＋F＝０表示圆的充要条件是A=C≠0，Ｂ=０,D２＋E2－4AＦ＞0．( √ ）
（4)方程x2+２aｘ+y2=0一定表示圆。( × ）
（５)若点M(x0,ｙ0)在圆ｘ2＋y２＋Dx＋Eｙ＋Ｆ=0外，则ｘ+y＋Dx0+Ey0＋F〉０。（ √　）
１。（教材改编）将圆x2+y2－2x—4ｙ+１=０平分的直线是（ )
+y－1＝０ 　ﻩB。x+ｙ＋3=0
C。x—y+1=0 —y+3=０
答案　Ｃ
解析 圆心是（1，2）,所以将圆心坐标代入检验选项C满足。
２。已知圆C：（ｘ－3)2＋（ｙ—4）2=1和两点A（-m，0）,B（m，0）（m〉0），若圆Ｃ上存在点P，使得∠ＡPＢ＝90°,则m的最大值为（ 　）
　 　 B．6　　 　C。5 　 　 D。4
答案　B
解析 根据题意,画出示意图，如图所示，
则圆心Ｃ的坐标为（3,４），半径ｒ＝1，且|AB｜＝2ｍ。
因为∠ＡＰB＝９0°,连接ＯP,
易知｜ＯＰ｜=|ＡB｜=m。
要求ｍ的最大值,
即求圆C上的点Ｐ到原点Ｏ的最大距离．
因为|OC｜＝=５，
所以|OP｜ｍax=｜OＣ|+ｒ＝６，
即ｍ的最大值为6．
3．（2０１5·北京)圆心为(１,１）且过原点的圆的方程是（ )
A。（ｘ－1）2+（ｙ—1）２＝1
B.（ｘ+１）２+(y+1)２＝1
C。（ｘ+1）2+（y+1）2＝2
D。（ｘ－１)2+(y－1）2=2
答案 D
解析　圆的半径r＝＝,∴圆的方程为(ｘ—1)２＋（y-1)2=2。
4。（教材改编)圆C的圆心在ｘ轴上,并且过点Ａ(—1,1）和B（1,3），则圆C的方程为_＿__＿＿＿＿＿___＿＿.
答案　(x-2）2+y２＝10
解析 设圆心坐标为C(a，０)，
∵点Ａ（－1,1）和B(1，３）在圆C上,
∴|CA｜＝｜CＢ|，
即=,
解得ａ=2,
∴圆心为C（2，0)，
半径|CA｜==,
∴圆C的方程为（x—2)2＋y2=10。
5。（201６·浙江)已知ａ∈R，方程a2ｘ２＋(a+2）y２+4x+８ｙ+5ａ＝０表示圆，则圆心坐标是_＿_＿_＿_＿，半径是＿__＿_＿＿_．
答案　(-2，—４）　５
解析　由已知方程表示圆，则a2=ａ+2,
解得a＝2或ａ=—1．
当a＝2时，方程不满足表示圆的条件,故舍去。
当ａ＝-1时，原方程为ｘ２＋y2+4x+8y—5＝0，
化为标准方程为(x+２）２＋(y+4)２=25，
表示以（-2，-４）为圆心,半径为５的圆.
题型一　求圆的方程
例1 (1)(２016·天津)已知圆Ｃ的圆心在ｘ轴的正半轴上,点M（0,）在圆C上，且圆心到直线2ｘ—y=0的距离为，则圆C的方程为_＿___＿___＿_____＿。
（２)（2０１５·课标全国Ⅰ）一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为___＿__＿_．
答案 （1)(x—２)2+ｙ２＝9 （2）2＋y２＝
解析　(１)因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C（a,0），且a〉0，
所以圆心到直线２x－y=0的距离ｄ=＝，
解得a=2，所以圆C的半径ｒ＝｜ＣＭ｜＝=3，
所以圆C的方程为（x-2)2+ｙ２=9。
（2)由题意知圆过(4,0）,（0，