(1)(t)=A·1(t)的拉氏变换。
单位阶跃函数f(t)=1(t)的拉氏变换为 。
(2)(t)=δ(t)的拉氏变换。
数学知识回顾
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(3)(t)= 的拉氏变换
几个重要的拉氏变换
f(t)
F(s)
f(t)
F(s)
δ(t)
1
sinwt
1(t)
1/s
coswt
t
1/(s+a)
2
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(1)线性性质
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。
(2)微分性质
若 ,则有
f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。
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证:根据拉氏变换的定义有
原函数二阶导数的拉氏变换
依次类推,可以得到原函数n阶导数的拉氏
变换
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(3)积分性质 若
则
式中 为积分 当t=0时的值。
证:设 则有 由上述微分定理,有
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即:
同理,对f(t)的二重积分的拉氏变换为
若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于0
则有
即原函数 f(t)的n重积分的拉氏变换等于其象
函数除以 。
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(4)终值定理
原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。
证:由微分定理,有
等式两边对s趋向于0取极限
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注:若 时f(t)极限 不存在,则不能用终值定理。如对正弦函数和余弦函数就不能应用终值定理。
(5)初值定理:
证明方法同上。只是要将 取极限。
(6)位移定理:
,若原函数在时间上延迟 ,则其象函数应乘以
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,象函数的自变量延迟a,原函数应乘以
即:
(7)时间比例尺定理
原函数在时间上收缩(或展宽)若干倍,则象函数及其自变量都增加(或减小)同样倍数。即:
证:
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(8)卷积定理
两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函数的乘积。
即
证明:
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