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多元统计分析
题型一定义、名词解释
题型二 计算（协方差阵、模糊矩阵）
题型三解答题
一、定义
§ 1随机向量及其分布
一、随机向量的联合分布
设司,4「「为是定义在样本空间Q上的9个随机变量，则称 （国/心，是七维随机向量（或为维随机变量）.
中元函数
产（田一马，…,.i^） =尸工G g .号,…，为" "■,苞y的联合分布函数.
如果存在非负可积函数/&.4.）,使得
产（4巧，…7J Z…，J\j小心心…d〃F 则称是夕维连续型随机向量，称八为 （国&*力了的联合分布密度.
§ 2 的机向量的数字特征
一、随机向量的数学期望（均值）
定义1设了=（为工.…y,若与（工二）=%，z…，中存在, 则称 EF = 01；, …,左1/
=（氏中r…，/J = N
为片TJ的数学期望（向量）.
设片=（卷）〜，称1为随机矩阵，称ZT = （©；）“为随机矩阵工
的数学期望（矩阵）.
二、边缘分布
称2维随机向量…,为），的分量构成的子向量的概率分 布为.….为）'的边缘分布.
设夕维随机向量….为）'的分布函数为产（22,….》），则 关于用的边缘分布函数为
£（管）=P{Xf < Xf} = A+S,….+8,必+C0,…,+8）,
设〃维连续型随机向量（%,4,…,为）'的联合分布密度为
/（.卬0…,与），
/（工）=J二…j二"…'£-1'七，¥+1，…，年）火……局.
四、协方差矩阵的性质
设工，厂为随机向量，*, B为常数矩阵，贝IJ 性质 1 Coy^AX, BY） = A Cox\X, >） B,
性质 2 L\AX） = AL\X）A
五、协方差矩阵〃r的代数性质
记 s = zzr,
. Z为非负定矩阵,即对Da e AJ有aEa / 0 .
记号：若E为非负定矩阵，则记作EN。，
若工为正定矩阵，则记作Z>0.
二、数学期望的性质
设X,y为随机矩阵，,八夕为常数矩阵，则
性质 1 E{AX) = AEX.
性质 2 E(.4XB) = A E{X} B,
性质 3 EJ) = EX^EY.
三、协方差矩阵
定义2设%=(国昌，…，为丫，，=(4，・••[)，
若可((/),/=1, 2. P, 7 = 1, 2.…，/存在，则称
工，)=E{X-EX){Y-Eiy
=[而您/)】内
为随机向量工与尸的协方差矩阵.
当。《1」)=0时,称随机向量1与厂不相关.
称Coy^) == DX为随机向量X的协方差矩阵.
显然，协方差矩阵是一个对称矩阵.
定义3 称火=4%为随机向量1的相关阵・ 由相关系数的概念，显然有勿=1, |共1, /.八L 2,…，p.
(1)最矩距离法(Nearestneighbor)
考虑月个样本构成的距离矩阵，定义G与$之间的距离为两类最近样品的距离，即
(3-3-29)
£)〃•= min 4,・
现在设G,与G@合并为一个新类记为5,『的距离为
y mm d”・=min( min d* min ^) = min(Dv,D^). (3-3-30)
.若E为正定矩阵,则有下述等价结论.
⑴Z>0o3非奇异方阵乙使£ = 〃.
⑵Z>0 o 3正交矩阵I■，使「E「= MZg(44 其中，々>0./= L2,…,，.为Z的全部特征根.
E >。o工的任一主子式均大于零.
£ > 0 o Va w 火尸,有 a》a > 0 ,且 a£a = 0 o a = 0.
(5)S>0<=> £7存在且S-l>0.
§ 3多元总体 一、多元总体
设观测指标为…则才;•工.…/7构成一个〃维随机 向量1=(；4… C，1的一切可能取值的全体就构成了 〃元总 体，仍记作
"维随机向量1的概率分布即为所对应总体的概率分布，X 的数字特征也即为所对应总体的数字特征.
二、样本观测阵
设对〃元总体才二⑶5,…,为)'进行了〃次观测，记
为第/次的观测结果($L 2，每次的观测结果称为一个样品.
如果…满足：
⑴% , 4），…，花）相互独立；
（2）每个一%均与总体I具有相同的概率分布.
称小…为来总体』的一个容鼠为〃的简单随机样本，仍 简称为样本.
称样本观测值的个体构成的矩阵
为样本观测阵（资料阵）.
三、样本数字特征
% •112 X\p
叫用2 … %
• •
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• •
二% % …。
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1 .样本均值（向量）
记 弓=上£］一 称〒=（.不元.….七）'为样本均值向最. 〃 “1
2,样本离差阵
记