模糊聚类分析.ppt

第七讲 模糊聚类分析
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聚类分析的基本概念
“聚类”就是按照一定的要求和规律对事物进行区分和分类的过程, 在这一过程中没有任何关于分类的先验知识, 仅靠事物间的相似性作为类属划分的准则, 属于无监督分类的范畴。
“聚类分析”是指用数学的方法研究和处理给定对象的分类。
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聚类分析是多元统计分析的一种, 它把一个没有类别标记的样本集按某种准则划分成若干个子集(类), 使相似的样本尽可能归为一类, 而不相似的样本尽量划分到不同的类中。
传统的聚类分析是一种硬划分, 它把每个待辨识的对象严格地划分到某类中, 具有非此即彼的性质, 因此这种类别划分的界限是分明的。而实际上大多数对象并没有严格的属性, 它们在性态和类属方面存在着中介性, 具有亦此亦彼的性质,因此适合进行软划分。
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模糊集理论的提出为软划分提供了有力的分析工具, 用模糊数学的方法来处理聚类问题, 被称之为模糊聚类分析。由于模糊聚类得到了样本属于各个类别的不确定性程度, 表达了样本类属的中介性, 更能客观地反映现实世界, 从而成为聚类分析研究的主流。
模糊聚类已经在诸多领域获得了广泛的应用, 如模式识别、图像处理、信道均衡、矢量量化编码、神经网络的训练、参数估计、医学诊断、天气预报、食品分类、水质分析等。
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常用的模糊聚类分析方法大致可分为两大类：其一是基于模糊关系(矩阵)的聚类分析方法, 而作为其中核心步骤的模糊分类,有下述的主要方法：模糊传递闭包法、直接聚类法、最大树法和编网法; 其二是基于目标函数的聚类分析方法, 称为模糊C均值(FCM)聚类算法(或称为模糊ISODATA聚类分析法)。
第一类方法, 作为准备先讲解模糊关系传递闭包的基本概念。
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模糊关系的传递闭包
设RF(XX). 则R是模糊等价关系当且仅当对任意[0, 1], R是等价关系。
论域X上的经典等价关系可以导出X的一个分类。论域X上的一个模糊等价关系R对应一族经典等价关系{R:  [0, 1]}. 这说明模糊等价关系给出X的一个分类的系列。这样, 在实际应用问题中可以选择“某个水平”上的分类结果, 这就是模糊聚类分析的理论基础。
实际问题中建立的模糊关系常常不是等价关系而是相似关系, 这就需要将模糊相似关系改造为模糊等价关系, 传递闭包正是这样一种工具。
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定义 设RF(XX). 若R1F(XX)是传递的且满足：1) RR1,
2) 若S是X上的模糊传递关系且RS, 必有R1S.
则称R1为R的传递闭包, 记为t(R).
模糊关系R的传递闭包是包含R的最小传递关系。
定理 设RF(XX). 则 t(R)=∪n=1Rn.
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(∪n=1Rn) (∪m=1Rm)
=∪n=1 [Rn (∪m=1Rm)]
=∪n=1 [∪m=1 (Rn  Rm)]
=∪k=2 (∪n+m=k Rn+m)
=∪k=2Rk ∪k=1Rk.
这说明∪n=1Rn是传递的。又, 显然R∪n=1∪n=1Rn是包含R的模糊传递关系。
若有X上的模糊传递关系S满足RS, 下证
∪n=1Rn S (即证明∪n=1Rn “最小”)
由RS得 R2S2S, R3= R  R2 R  S S2S, …
证明：
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一般地, RnS, nN. 于是∪n=1Rn S.
综上所述,∪n=1Rn是包含R的最小传递关系, 因而是R的传递闭包, 即t(R)=∪n=1Rn.
在论域有限的情况下, 传递闭包的计算更简捷:
定理 设|X|=n, RF(XX). 则 t(R)=∪k=1nRk.
计算有限论域上自反模糊关系R的传递闭包的方法：从R出发, 反复自乘, 依次计算出R2, R4, …,当第一次出现Rk  Rk=Rk时得t(R)=Rk.
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定理 设RF(XX). 则R的传递闭包t(R)具有以下性质:
(1) 若IR, 则 I t(R);
(2) (t(R))1=t(R1);
(3) 若R=R1, 则(t(R))1=t(R).
上述结论表明：自反关系的传递闭包是自反的, 对称关系的传递闭包是对称的。于是, 模糊相似关系的传递闭包是模糊等价关系。
例 设|X|=5, R是X上的模糊关系, R可表示为如下的5×5模糊矩阵。求R的传递闭包。
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