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不定积分公式.docCh4、不定积分
§1、不定积分的概念与性质
1、 原函数与不定积分
定义1：若F (x)二f (x)，则称F (x)为f (x)的原函数。
连续函数一定有原函数；
若F (x)为f (x)的原函数，贝U F (x) C也为f (x)的原函数；
事实上，(F (x) +C ) = F '(x) = f (x)
f (x)的任意两个原函数仅相差一个常数。
事实上，由 Fjx) -F「x)丨=F；(x) -F2(x)二 f (x)「f (x) = 0 ,得 Ft (x)「F2 (x)二 C
故F (x) C表示了 f (x)的所有原函数，其中F (x)为f (x)的一个原函数。
定义2： f (x)的所有原函数称为f (x)的不定积分，记为f(x)dx，—积分号，f (x)-
被积函数，
x -积分变量。
显然 f (x)dx = F( x)亠 C
例1、求下列函数的不定积分
① kdx = kx C
② x 'dx 1
In x C
11 1
■' - -1
2、 基本积分表(共24个基本积分公式)
3、 不定积分的性质
(If (x) ±g(x) dx = J f (x)dx 士Jg (x)dx
kf (x)dx =k [ f (x)dx (k 式0)
例2、求下列不定积分
①琴二 x，dx 1 x(? 1 C _ 丄 C 、x (—2) +1 x
1、
dx
丄2
x dx =
(-1 2) - 1
(12)1
x
3 ]d 5
dx = 5 arcs in
1 -X
x —3 arctan x
dx
2x
x 1
11：，e dx 一
x
dx \ -e
1
ln x C
In
csc x csc x - cot
dx
dx
2
sin
sin 2
cot 2
2
xcos
xdx
bx
2
=csc
2
x cos
sin 2 xcos 2
2
I icsc x —1 dx
4
x -1 1
dx弋
xdx
csc
x cot xdx
--cot x
亠csc x亠C
、第一类换元法
f ax • b dx 二1
a
例1、求不定积分
x dx
—cot
csc2 xdx
sec2 xdx
=- cot x tan x C
-1
dx丄3亠
! 3
arctan x C
§2、不定积分的换元法
（凑微分法）
f ax 亠 b d ax 亠 b ,即 dx
1 . 1
sin 5xdx sin 5xd 5x 5x = u sin udu
5 L _ 5 ，
dx
a2 x2
dx
2、 f xn xnXdx
例2、求不定积分
d ax 亠 b
1
一一cos( 5x)亠 C
5
「丄 1 -2x 7 d (1 -2x)二-
2
1 亠[x a
f xn
dxn,
-2x
7：：1
)+C
16
8
—2x ) +C

2
C
1
—arcta n a
(20)
C
=arcs in
a
(23)
即x n」dx
-x2
②x2e
dx
3
-+c
1
cos —dx
1
cos — d
x
- -sin
dx = _d j 1
cos x
④ dx
=2 sin x C
<x
dx = 2d . x
3、 1dx = d ln x,
x
exdx = de x, sin
xdx = _d cos x,
cos xdx = d sin x, sec2 xdx = d
tan
x,
sec x tan xdx = d sec x,
dx = d arctan x,
2- dx 二 d arcsin x,
、1 — x
,a2 _x2
例3、
求不定积分
tan
xdx
sin x dx cos x
d cos x
■
=- In cos
C = In sec x C
(16)
cot
xdx
cos x dx sin x
d sin x
In
sin x C
=一 In cos x C
sin x
(17)
sec
xdx
sec x sec x
tan x
dx
d sec x
tan x
csc
xdx
sec x 亠 tan x
s